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数 学 模 型 么焕民 哈尔滨师范大学信息科学系 2008年3月7日 需要阅读的参考书目 1. 姜启源.《数学模型》(第三版).高等教育出版社.2003年 2. 朱道元等. 《数学建模案例精选》. 科学出版社. 2003年 3. 邹瑾 杨国安.《开心数学》.哈尔滨工业大学出版社.2003年 4. 韩伯棠 吴祁宗 李金林.《管理数学》. 北京理工大学出版社 5. 蓝伯雄 程佳惠 陈秉政.《管理数学(下)--运筹学》.清华大学出版社 6. 胡运权.《运筹学教程》(第二版). 清华大学出版社.2003年 7. 朱德通. 《运筹学》. 上海人民出版社. 2001年 8.《线性代数》或《高等代数》 9.《数学分析》 10.《常微分方程》 第一章 认识数学模型 提出三个简单的实际问题 【问题二】 能否将一张纸对折100次? 对折1次：2层= 21 对折2次：4层= 22 对折3次：8层= 23 …… 对折100次: 2100 【问题三】数学与魔术----神奇的斐波那契数列 1.洞从哪里来？ 如图，将两条长度分别为（8+5）与（2+1+2）的直角边剪 裁成图A所示的四块几何图形，然后再重新拼接成图B，它仍是一 个直角三角形，其边长分别是（5+2+1+5）和（3+2）,但是我 们会惊奇的发现与图A相比,图B多出了一个洞,这个洞从哪里来？ 如图，将图A中面积为13×13=169的正方形裁剪成四块几何图 形,然后重新拼接成图B，计算可知长方形的面积为8×21=168, 比原来的正方形少了一个单位的面积，面积怎么会减少呢？ 2. 面积怎么少了？ 出现“差错”的原因 以第二个问题为例，题中涉及到四个数据：5，8，13， 21，正是斐波那契数列中的四项，斐波那契数列的特征是 从第三项开始的每一项都是它的前两项的和： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，58，…… 我们可以使用这个数列的其它任意相邻四项来试验这 个过程，发现无论选取哪四项，都可以得出关于斐波那契 数列的一个重要性质：这个数列任意一项的平方等于它前 后相邻两项之积加1或者减1。即： 得到以下重要结论： 正方形的面积和长方形的面积不会相等，有时候正方形的 面积比长方形的面积多一个单位，有时候正方形的面积比长方 形的面积少一个单位。即 超级链接----广义斐波那契数列与黄金分割比 上面提及的斐波那契数列是以1,1两数开始的,广义的斐波那契 数列可以从任意两数开始.如用广义的斐波那契数列 2,2,4,6,10,16 ,…… 做上述试验,就会多得或丢失4个单位的面积. 如果用 表示广义斐波那契数列的相邻三项,以 表示 “得”或“失”的数字，则成立 此问题的求解： 令方程组中的 等于零，再解之得到唯一的正解是： 超级链接---小知识 公元5--11世纪,是欧洲历史上的黑暗时期,天主教会成为欧洲社会的绝对 势力,由于封建宗教的统治,使一般人笃信天国追求来世,从而淡漠世俗生活对自 然不感兴趣.教会宣扬天启真理并拥有解释这种真理的绝对权威,导致了理性的 压抑.欧洲文明在整个中世纪处于凝滞状态.由于罗马人偏重于实用而没有发展 抽象数学,这对罗马帝国崩溃后的欧洲数学也有一定的影响,终使黑暗时代的欧 洲在数学领域毫无成就. 直到12世纪,由于受翻译,传播阿拉伯著作和希腊著作的刺激,欧洲数学才 开始出现复苏的迹象.1100年左右,欧洲人通过贸易和旅游,同地中海地区和近 东的阿拉伯人以及东罗马帝国的拜占庭人发生了接触,十字军为掠夺土地的东 征,使欧洲人进入了阿拉伯世界,从此欧洲人从阿拉伯人和拜占庭人那里了解到 希腊以及东方古典学术. 欧洲黑暗时期过后,第一位有影响的数学家就是斐波那契（L.Fibonacci1170-1250）他早年就随其父在北非师从阿拉伯人学习算学，后又游历地中海沿岸诸国，回意大利后写成《算经》，亦作《算盘书》。 这部很有名的著作主要是一些源自古代中国、印度和希腊的数学问题 的汇集,内容涉及整数和分数算法，开方法，二次和三次方程和不定方程， 特别是书中系统地介绍了印度-阿拉伯数码，对改变欧洲数学的面貌产生了 很大的影响. 斐波那契兔子的问题 1.1 什么是数学模型 一、有关的几个概念 1.原型：指人们在现实世界里关心,研究或从事生产,管理 的实际对象. 2.模型：为了某个特定的目的,将原型的某一部分信息简 缩,提炼而构造的原型的替代品. 3.原型与模型的关系：原型是模型的前提与基础，模型是