数学分析课件定积分.pptVIP

第一节 定积分的概念 二、定积分的定义 第二节 定积分的基本性质 定理 7.1 (可积函数必有界) 定理7.2(积分的线性性质) 定理7.3 （定积分区间的可加性） 定理7.4 （积分的单调性） 定理7.5 函数的一致连续性概念 一致连续的定义 定理7.6 康托（Cantor）定理 定理7.8：（积分第一中值定理） 定理7.9 第四节 定积分的计算 （一）定积分的换元法 二、定积分的分部积分法 第五节 定积分在物理学中的应用初步 习题 补充题 作业 P199:2.3 P210:6.8.9.15 P216:3.4 P222:1.2.5.6.7 小窄条上各点的压强 例4. ? 的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力. 解: 建立坐标系如图. 所论半圆的 利用对称性 , 侧压力元素 端面所受侧压力为 方程为 一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为 说明: 当桶内充满液体时, 小窄条上的压强为 侧压力元素 故端面所受侧压力为 奇函数 例5. 设有一长度为 l, 线密度为? 的均匀细直棒, 其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M, 该棒对质点的引力. 解: 建立坐标系如图. 细棒上小段 对质点的引力大小为 故垂直分力元素为 在 试计算 利用对称性 棒对质点引力的水平分力 故棒对质点的引力大小为 棒对质点的引力的垂直分力为 推论7.1 若 在 可积， 则 设 在某一区间 （或开，或闭）连续，按照定义， 也就是 在区间 中的每一点都连续，即 使当 时， 一般说来：对同一个 ，当 不同时， 也不同 用符号： 当 时， 例：图7.7曲线 对接近于原点的 就取得小一些， 而当 离原点较远时， 却可以取大一些， 对后者 所取的 值， 对前者就不一定适用。 能否找到（是否存在）一个对区间 内所有点 都适用的 。 从图大致看出， 在 中就没有公共的 ，有时却需要这种对所有点 都适用的 存在，这就需要 设函数 在区间 有定义， 若对任给 存在只与 有关而与 内的点 无关的 ，使得对任意 只要 就有 则称 在区间 一致连续。 用符号： 当 时， 将函数在区间 的定义加以比较， 可见它们 截然不同： 前者（连续）：给定了 和 来决定 。 一般说来， 随 和 而改变， 记为 而后者（一致连续）： 是只给了 就能决定 即 只随 而变， 我们记为 而这种 对任意的 都可用。 仍拿 的情形看： 对 我们不妨求出满足 时， 的 的最大值， 来看看 依赖于 的情况。 从 得： 不妨设 从而 或 故只要取 则它是使 成立的最大的 显然， 当 时 可见 的确依赖于 我们得不到一个对 中每点都适用的函数 也就是说 在 不一致连续 现设 是一个小于1的函数 下面在 来考虑 由前面难导， 当 时 则对 中任意 和 只要 就有 即 在区间 是一致连续的 应当注意： 函数在某区间的连续性， 只与区间中每一点 及其附近的 的情形有关 ,是局部性质 而一致连续性， 是整体性质 函数 在区间 非一致连续的肯定叙述： 若存在某个 对任意 都存在两点 使得 但 则得 在 非一致收敛 例1： 证明 在 一致连续， 其中 而在 连续但不一致连续。 证明: 在某区间上: 连续与一致连续的关系 引出： 定理： 定理7.6： 闭区间 上的连续函数 一定在 一致连续 若 在 连续，则 在 可积 一个有界函数但不可积的例子。 例2 函数 在 是不可积的 闭区间 上的连续函数 一定在 一致连续 定理7.7 特别：当 时的情形， 在 可积，令 则 是 上的连续函数。 第三节 微积分基本定理 （一）变上限积分的定义 定义 （二）变上限积分的性质： 定理 1 二、微积分基本定理 （一）Newton-Leibniz公式 定理 2 牛顿—莱布尼茨公式 证 令 令 注: ① ② （二）例题 例 2 求 原式 解 例 3 求 解 由图形可知 定理7.13 设函数 在 连续，单值函数 满足: 1) 2) 在 上 则 有连续微商 ， 证: 所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 , 是 的原函数 , 因此有 且它们的原函数也存在 . 说明: 1) 当? ? , 即区间换为 定理 1 仍成立 . 2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 . 3) 换元公式也可反过来使用 , 即 或配元 配元不换