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最丰硕的成果：微积分 微积分是算法倾向还是演绎倾向的结果？ 为什么中国近代数学落后？ 近代数学不能在欧洲以外的其他地域发生？ 颇有影响的观点： 这些地域缺乏演绎传统 甚至认为： 中国古代没有演绎方法 ▲ 无穷小算法时期 微积分不是演绎倾向的结果，恰恰是算法倾向的结果！ 微积分的产生： 是寻找一系列实际问题的普遍算法的结果 如 瞬时速度、 极大（小）值、 求面积、体积、 求曲线的长度等 开普勒的积分学，实际上是测量酒桶的容积 泰勒公式、甚至十九世纪初福里叶的三角展开，都在很长时间内缺乏严格的证明，产生了二次数学危机。 牛顿发明微积分的个人背景也颇能说明问题 解析几何： 是算法精神的成果。 全部几何问题可以容易地被归纳一些线段的加减乘除开方 分析，抽象代数，希尔伯特原理等 三大特征： 分析的严格化 几何的非欧化 代数的抽象化 ☆ 近代数学与演绎倾向时期 超级计算机“深蓝”战胜卡斯帕诺夫 吴文俊： 等式型命题的机器证明 张景中： 机器证明的可读性问题的解决 杨路： 非欧几何定理证明的自动生成和可读性问题 不等式的机器证明取得了相当的成功。 ☆ 机器证明的算法倾向时期 一、 数学与现实世界的关系 二、 人们对数学的认识 三、 数学发展的动力 第三节 数学发展的动力 辩证唯物主义对数学的看法 纯数学来源于经验； 以客观事物的空间形式与数量关系作为研究对象； 数学来源于外部世界又脱离外部世界而发展； 数学的发展遵循辩证规律。 二、 人们对数学的认识 ①对数的概念的认识； 自然数 有理数 实数 复数 一、 数学与现实世界的关系 ② 对图形的认识 几何图形是人们对客观事物的 形象、 位置关系、 大小的能动反映 ③ 对函数关系的认识 对客观事物运动变化中的量的关系的能动的反映 所有与曲线上的点有关的量称为函数。（莱布尼兹） 用任意方法由变量和常量组成的量叫做这个变量的函数。（贝努利） 欧拉给了三个定义。 柯西定义： 黎曼定义： 狄里克雷定义： 用对应定义函数： 豪斯多夫用序偶定义函数： 用关系定义函数： 函数的几种定义： １ 社会实践活动向数学提出问题，促进数学发展 记数 、计数－－数及符号 长度、面积、体积－－几何量 地球、晶体等物体形式－－空间形式 天文学需要－－球面几何和三角学 行星、物体运动－－解析几何 求瞬时速度、曲边梯形面积等－－微积分 赌博、保险业－－概率论 三、数学发展的动力 ２ 从数学理论与新经验矛盾中提出问题，促进数学发展 负数、无理数、复数、非欧几何等产生 ３ 数学理论本身的矛盾中提出问题，促进数学发展 无穷小量－－极限理论、实数理论、集合论 数学基础中的矛盾－－模型论、数理逻辑等 * 算法倾向、演绎倾向 算法倾向、演绎倾向 数学思想方法论 作为学科的数学方法论 作为课程的数学方法论 数学方法论与其它学科的关系 辩证唯物主义哲学 数学思想方法 数学教学论 数学学习论 数学 数学史 逻辑学 基础 数学的起源与发展 数学的辩证观 数学基础论的三大学派 数学的悖论 数学的发现方法 数学的逻辑方法 数学的美学方法 数学的思维方法 数学思想方法与数学教育 主要内容 克莱茵 古今数学思想 亚历山大洛夫 数学－－它的内容、方法和意义 解恩泽等 数学思想方法纵横谈 王仲春等 数学思维与数学方法论 徐利治 数学方法论选讲 张奠宙 数学方法论稿 郑毓信 数学方法论 波利亚 数学与发现 合情推理 主要参考书 第三节 数学发展的动力 第一节 数学史分期（一） 第二节 数学史分期（二） 第一章 数学的起源与发展 ☆ 数学萌芽时期 ☆ 常量数学时期 ☆ 变量数学时期 ☆ 近代数学时期 ☆ 现代数学