同构及同态和环.pptVIP

§6.5 同 构 及 同 态 ?6.5.1 同 态 映 射 ? 定义6.5.1 设G是一个群，K是一个乘法系统，G到K的一个映射σ说是一个同态映射，如果 σ（ab）=σ（a）σ（b）。 定理6.5.1 设G是一个群，σ是G到K中的一个同态映射，则G的映象G′=σ（G）是一个群，G的单位元1的映象σ（1）就是G′的单位元1′，而a的逆a-1的映象σ（a-1）就是a的映象σ（a）的逆 σ（a）-1：σ（a-1）=σ（a）-1。 证明：因为G非空,显然G′非空，要证G′做成群，首先要证G′中任意两个元素可以相乘，即设a′∈G′，b′∈G′，要证a′b′∈G′。 事实上，a′=σ（a），b′=σ（b）， 按σ的同态性 σ（ab）=σ（a）σ（b）=a′b′， 故a′b′是G的元素ab的映象，因而a′b′∈G′。 再证G′中有结合律成立：设a′,b′,c′∈G′，则a′（b′c′）=（a′b′）c′。事实上，a′=σ（a），b′=σ（b），c′=σ（c），又因为群G中有结合律成立,所以a(bc)=(ab)c。于是σ（a（bc））=σ（（ab）c）。按σ的同态性，推出σ(a)σ(bc)=σ(ab)σ(c)， σ(a)(σ(b)σ(c))=(σ(a)σ(b))σ(c)， 即a′（b′c′）=（a′b′）c′。 下面证G′有左壹而且就是σ（1），即对于任意的a′∈G′,有σ(1)a′=a′。 事实上，a′=σ（a），按σ的同态性 σ（1）a′=σ（1）σ（a） =σ（1a）=σ（a）=a′。 再证G′中的任意元素a′有左逆而且就是 σ（a-1）。事实上，a′=σ（a），由σ的同态性 σ(a-1)a′=σ(a-1)σ(a)=σ(a-1a) =σ（1）。 因此，G′做成一个群，G′的壹1′=σ（1），G′中a′的逆是σ（a-1）。 G和G′说是同态，记为G～G′。 例6.5.1 设（G，*），（K，+）是两个群，令 σ：x?e，?x?G，其中e是K的单位元。则σ是G到K内的映射，且对a，b?G，有 σ（a*b）=e=σ（a）+ σ（b）。 即，σ是G到K的同态映射，G～σ（G）。 σ（G）={e}是K的一个子群。 这个同态映射是任意两个群之间都有的。 例6.5.2 设（Z，+）为整数加法群，（C*，·）是所有非零复数在数的乘法下作成的群， 令 σ：n?in，?n?Z， 其中i是C的虚数单位。则σ是Z到C*内的一个映射，且对m,n?Z，有σ(m+n)=im+n=im·in=σ(m)·σ(n)。 即，σ是Z到C*的同态映射，Z～σ（Z）。σ（Z）={1，-1，i，-i}是C*的一个子群。 6.5.2 同 构 映 射 ? 定义6.5.2 设G是一个群，K是一个乘法系统，σ是G到K内的一个同态映射，如果σ是G到σ（G） 上的1-1映射,则称σ是同构映射。称G与σ（G）同构，记成G?G′。 同构的群或代数系统，抽象地来看可以说毫无差别。如果G只和G′同态，则由于G中两个或多个元素可能变成G′的一个元素，所以不能说是G和G′构造一样，但因为G中的乘法关系在G′中仍对应地成立，所以，可以说G′是G的一个缩影。 例6.5.3 设（R+，·）是一切正实数在数的乘法下作成的群,(R，+)是实数加法群。令 σ：x?logx， ?x?R+， 则σ是R+到R上的1-1映射,且对a,b?R+， σ（a·b）=log（a·b）=log a+log b =σ（a）+σ（b）。 故σ是R+到R上的同构映射。 Log x是以e为底的x的对数,若取σ(x)=log2x，或若取σ（x）=log10 x，则得到R+到R上的不同的同构映射。由此可见，群间可存在好多个甚至是无限多个同构映射。 此例中（R+，·）?（R，+），如果将R+换成R*，即 换成非零实数集,那么（R*,·）与（R,+）能否同构呢？ 例6.5.4 （R*，·）与（R，+）不可能同构。 证明：用反证法。 假设（R*，·）与（R，+）同构，可设映射σ为R*到R上的一个同构映射，于是必有 σ：1?0， -1?a ，a ? 0 。 从而，σ（1）=σ（（-1）·（-1）） =σ（-1）+σ（-1）=a+a=2a。 则有2a=0，a=0，与a ? 0矛盾。 故原假设不对,（R*，·）与（R，+）不可能同构。 例6.5.5 无限循环群同构于整数加法群。 证明： 设G=（g）是无限循环群，Z为整数加法群，则对?a?G，?n?Z，使得a=gn，则令 f：a?n。 不难验证f是G到Z上的同构映射。因此，G?Z。