同济版高数绘图,曲率.pptVIP

例2 描绘函数 思考题 一、 弧微分 二、曲率及其计算公式 例1 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 . 2.曲率K 的计算公式 * 第六节 函数图形的描绘 解 定义域为 一阶导数的符号确定函数图形的上升 下降以及极值点； 二阶导数的符号确定函数图形的凹凸以及拐点. (极大值) (拐点） (极小值) 补充点 有了函数单调性、凹凸性以及极值、 拐点等信息，就可以掌握函数的性态， 并比较准确地画出函数图形. 利用函数导数作图的方法，称为 微分作图法. 利用导数描绘函数图形的一般步骤 : 1. 确定函数 的定义域 , 2. 求 并求出 及 的零 3. 列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点 ; 4. 求渐近线 ; 5. 确定某些特殊点,描绘函数图形 . 点和不存在的点 ; 并考察其对称性及周期性 ; 的图形. 解 (1) 定义域为 图形对称于y 轴. (2) 求关键点 为水平渐近线 (5) 作图 (4) 求渐近线 (3) 判别曲线形态 (极大) (拐点) 若 则曲线 有水平渐近线 若 则曲线 有垂直渐近线 曲线的渐近线 斜渐近线 其中 例3 求曲线 的渐近线 . 解 为水平渐近线; 为垂直渐近线. 例4 解 非奇非偶函数,且无对称性. 列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点: 不存在 拐点 极值点 间断点 作图 水平渐近线 ; 垂直渐近线; 小 结 1. 曲线渐近线的求法 按作图步骤进行 2. 函数图形的描绘 曲线 (A) 没有渐近线； (B) 仅有水平渐近线； (C) 仅有铅直渐近线； (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线. 提示: 第七节 曲率 一、弧微分 二、曲率及其计算公式 设 在(a , b)内有连续导数,规定有向 弧段的值 （单增） 求弧的导数和微分： 则弧微分公式为 几何意义: 若曲线由参数方程 表示, 弧微分公式 弧微分三角形 曲率是描述曲线局部性质(弯曲程度)的量． ) ) 弧段弯曲程度越大转角越大 转角相同弧段越短弯曲程度越大 1、曲率的定义 ) 在光滑弧上自点 M 开始取弧段,其长为 对应切线转角为 平均曲率 定义弧段 上的 点 M 处的曲率 注意: 直线上任意点处的曲率为 0 . 解 如图所示 , 可见: R 越小, 则K 越大,圆弧弯曲得越厉害; R 越大, 则K 越小 , 圆弧弯曲得越小 . 有曲率近似计算公式 可以推导出曲率计算公式为 二阶可导, 设曲线弧 则由 * *