同济大学微积分版课件十.pptVIP

* 第十一节 曲线的曲率 本节要点 本节引入平面曲线曲率的概念并给出相应的计算方 一、曲率的概念 二、曲率的计算公式 法. 1.问题的引出 在下图中, 我们看到弧段 到点 再到点 时, 一、曲率的概念 得比较比较厉害. 大的差异. 比较平坦, 而弧段 弯曲 点沿这段弧从点 到 切线所转过的角有较 即动 但是, 转角的大小还不能完全反映曲线的弯曲程度. 例如在下图中, 两段弧 与 有相同的切线转 角, 但曲线的弯曲程度则是不同的. 2.曲率的概念 则 的弧长为 设平面曲线 是光滑的, 在 上取一点 作为度量弧 度的基点, 设点 是曲线上任意一点, 弧 的弧长 为 点 是曲线 上的另外一点, 弧 的弧长为 点 处切线的倾 角为 处切线的倾角为 切线的转角为 称 为弧段 的平均曲率, 记为 即 若当 时, 平均曲率的极限存在, 则称此极限为 ⑴ 曲线 在点 处的曲率, 记为 即 从而曲率 即: 直线上任意点处的曲率为零. 例1 对直线而言, 动点从 到 相应的切线的转角 为 则 因而, 此说明圆周上每一点的曲率相同, 例2 设曲线是半径为 的圆, 则 平均曲 率为 且等于半径的倒数. 二、曲率的计算公式 设曲线的直角坐标方程为 即曲 线是光滑的. 在曲线上取定点 作为度量弧长 的基点, 并且设曲线在区间 上对应的一段弧长为 曲线上的点 与 之间的一段弧长为 而线段 的长度为 并注意到 因 又因, 即 从而 由此即得: ⑵ 其中: 若曲线 由参数方程 ⑶ 则 例3 求 在任意点处的曲率. 解 因 由计算公式得曲线在任一点处的曲率为 注意到. 此说明当 或 曲线就越平坦. 例4 计算抛物线 上任意一点处的曲 解 因 代入公式⑵得 由于在上式中, 分子为常数, 故当 时, 曲率 达到最大, 即当 曲率取最大值, 此时, 对 率, 并求出曲率最大处的位置. 应曲线上的点为抛物线的顶点. 曲率圆与曲率半径 设曲线 在点 处的曲率为 作出 点 处曲线 的法线, 并且在曲线凹向一侧的法线上取 点 使 以 为圆心, 为半径作圆, 称该圆为曲线 在点 的曲率 圆, 为曲线 在 处的曲率 中心, 半径 称为曲线 在点 处的曲率半径. 由定义可知, 曲线 在点 处与其曲率圆有相同的切 线与曲率, 并且在点 的邻近处有相同的凹向. 例5 求曲线 上的点, 使曲线在该点的曲率为最 解 由例3, 知曲线在任意点的曲率为 求导得 大, 并求相应的曲率圆. 的图形 令 曲率半径为 点的坐标为 法线斜 率为 法线方程为 此时曲率为 在法线上求一点, 使该点与所给点的距离等于半径. 即有 将法线方程代入, 则有 得