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第十章 随机过程的基本知识 随机过程(Stochastic Process) 第一节 随机过程的概念和记号 第一节 随机过程的概念和记号 随机过程研究的是随时间变化的随机现象 例1：(随机游动)研究一醉汉醉酒后的行走路线，t时刻他所在的位置记作(X(t),Y(t)), 则{(X(t),Y(t)),t0}为一个(二维)随机过程。 特点1：每一时刻t，这个位置是不确定的，有随机性，是随机变量。 特点2：整个过程随时间t在不断变化。 例2：信号干扰 电子元器件由于内部微粒子随机热骚动引起的端电压称为热噪声电压。记t时刻的热噪声电压为X(t).则{X(t),t0}是一个随机过程。 特点1：每时刻t, 热噪声电压X(t)的取值是随机的，X(t)是随机变量 特点2：随时间t的变化，X(t)在延续变化。 例3：股票的价格 记t时刻股票的价格为Y(t),则{Y(t),t0}是一个随机过程。 图 特点1：给定时刻t，股票价格Y(t)不可预测，可以认为是随机变量。 特点2：股票价格Y(t)随时间t的变化在不断变化。 例4 排队问题 记X(t)表示[0,t)小时内通过柜台的人数，则{X(t),t0}是一个随机过程。 特点1：在时刻t通过柜台的人数是不确定的，固定t,X(t)是随机变量。 特点2：通过柜台的人数X(t)随时间的增加在变化（增加）。 随机过程的定义 随时间t变化的一族随机变量{X(t),t属于T}称作随机过程。 t称作时间参数。T称作时间参数集。 具体的一次实现称作一条样本曲线。 t固定, X(t)是随机变量。 随机过程的分类 按时间参数集进行划分: 随机序列：时间参数集T为可数集，则称{X(t),t属于T}为时间序列。 例:股票价格X(t)的时间参数集按日、周计算, 可以认为是时间序列。 连续时间过程：时间参数集T为连续统，则称过程为连续时间过程。 例：热噪声电压 随机过程的分类 按随机变量的类型划分： 1、连续型随机过程 若{X(t),t属于T}在t=t0时所取随机变量X(t0)是连续型，称该过程为连续型随机过程。 例：热噪声电压X(t)服从(a,b)上均匀分布 2、离散型 当X(t)是离散型，如排队问题是离散型随机过程，t时刻通过的人数X(t)只能取可数个值。据研究，X(t)服从泊松分布。 随机过程的意义 孤立地研究一个随机变量有时不能满足生活需要。或者说人们对单个随机变量掌握的信息不够多，需要将所有相关的历史信息联系在一起考虑。 如股票的价格，人们需要了解过去的价格分布，以帮助我们预测未来。 热噪声电压是随机的，从其历史分布状况能够有助于检测它、避开它。 第二节 随机过程的统计描述 (一)随机过程的分布函数族 对于固定的t,X(t)是一个随机变量，考虑X(t)的分布函数(一维分布)，还可以考虑(X(t1),X(t2))的联合分布函数(二维分布)… 定义： 称作随机过程{X(t),t属于T}的一个n维分布函数。 n维分布函数的意义 (X(1),X(2))是二维随机变量，它的分布函数就是一个二维分布函数 (X(3),X(1/2))也有相应的分布函数 二维分布函数可以有无穷多个 一个随机过程完全取决于它的有限维分布. 例1：设随机过程X(t)=A+Bt, t=0. 其中A,B是相互独立的随机变量，都服从正态分布N(0,1)，求X(t)的一维和二维分布。 解：1、一维分布 固定t, X(t)=A+Bt 是正态随机变量的线性组合，应服从N( , ) E(X(t))=E(A+Bt)=E(A)+tE(B)=0+tx0=0 D(X(t))=D(A+Bt)=D(A)+D(tB)=1+t^2x1 所以X(t)服从N(0,1+t^2)分布 2、二维分布 对于任意t1,t2,考虑(X(t1),X(t2))是正态随机变量的组合构成，应该服从二维正态分布 二维正态分布取决于E(X(t1)),E(X(t2)),以及协方差矩阵 例2：设随机过程X(t)=A cos(t), t实数，其中A是随机变量，其分布律为：P{A=1}=P{A=2}=P{A=3}=1/3求(1)X(t)的一维分布函数(2)二维分布函数 分布函数 (二)随机过程的数字特征 1、 称作随机过程{X(t),t属于T}的均值函数。 例：设随机过程X(t)=A cos(t), t实数，其中A是随机变量，其分布律为：P{A=1}=P{A=2}=P{A=3}=1/3 求X(t)的均值函数 解：E(X(t))=E(Acos(t))=cos(t)E(A) E(A)=1x(1/3)+2x(1/3)+3x(1/3)=2 所以E(X(t))=2cos(t) 作业 P315. 1、 例：设