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第六节 高斯公式 证明: 设 类似可证 二、简单的应用 1、通量的定义 * Green 公式 Gauss 公式 Stokes 公式 推广 把区域上的积分与 边界上的积分的联系起来 一. 高斯 ( Gauss ) 公式 定理1. 设空间闭区域 ? 由分片光滑的闭曲面 ? 所围成 , ? 的方向取外侧 , 在 ?上具有连续的一阶偏导数 , 则有公式 高斯 ( Gauss ) 公式 只证 函数 P( x, y, z ), Q ( x, y, z ), R ( x, y, z ) 又 所以 三式相加，即得所证Gauss公式： 若?是如图所示区域 , 则可引进辅助面将其分割成若干 个区域， 在辅助面正反两侧曲面积分正负抵消 , 故仍有 Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系. 由两类曲面积分之间的关系知 高斯 ( Gauss ) 公式5 解 (利用柱面坐标得) 高斯 ( Gauss ) 公式7 使用Guass公式时应注意: 高斯 ( Gauss ) 公式8 高斯 ( Gauss ) 公式9 高斯 ( Gauss ) 公式10 高斯 ( Gauss ) 公式11 解 空间曲面在 面上的投影域为 曲面?不是封闭曲面, 为利用高斯公式 高斯 ( Gauss ) 公式12 高斯 ( Gauss ) 公式13 故所求积分为 高斯 ( Gauss ) 公式14 例4. 求 其中 为曲面 的上侧 解: 做辅助面 取下侧 三、通量与散度 * * *