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哈夫曼树 与 树的应用 2009/04/02 本次课内容 作业讲评 堆-优先队列 Huffman树 通过后缀表达式生成树 算法： 每个数字生成为一个叶结点，入栈。 算符生成为一个结点，弹出两个叶结点，先右后左，链接生成一棵子树，入栈。 直到表达式尾，弹出最后一个元素作为树根。 按对称序，先跟序周游的结果重建树 对称序 先跟序 DBEACF ABDECF order2tree 二叉树的性质 插入操作的实现 在优先队列中插入元素 优先队列算法复杂度分析 插入一个元素： logn ? O(logn) 删除一个元素：2 logn ? O(logn) 大根堆（选作题） 优先队列应用 用优先队列实现小任务优先。 扩充二叉树的概念 把原二叉树的结点都变为度数为2的分支结点 如果原结点的度数为2，则不变 度数为1，则增加一个分支， 度数为0（树叶），则增加两个分支。 空二叉树的扩充二叉树规定为只有一个外部结点组成的二叉树。 加权路径： wi是第i个外部结点的权值 li为从根到第i个外部结点的路径长度 m为外部结点的个数。 WPL = 1 x 5 + 2 x 70 + 3 x 18 + 3 x 7 = 5 + 140 + 54 + 21 = 220 哈夫曼树： 对于一组非负实数｛w1 , w2 , w3 ,…, wm｝，存在一棵以wi（i = 1,2,…，m）为权的m个外部结点的扩充的二叉树，使得带权的外部路径长度WPL最小。这棵二叉树就称为哈夫曼树或最优二叉树。 WPL = 1 x 70 + 2 x 18 + 3 x 5 + 3 x 7 = 70 + 36 + 15 +21 = 142 哈夫曼树（构建算法） 给定m个权值{ w1 , w2 ,…, wm } 构造由m棵二叉树组成的树林F = {T1,T2,…,Tm}，其中每棵树Ti 只有一个根结点，且根结点的权值为wi； 在树林中选取两棵根结点权值最小的和次小的二叉树作为左右子树构造一棵新的二叉树，其根结点的权值为左右子树根结点权值之和。 将新的二叉树加入到树林F中，去除原两棵权值最小的树； 重复2、3步骤，直至F中只剩一棵树为止。 在线性结构上实现哈夫曼树 struct HtNode //* 哈夫曼树结点的结构 { int ww; int parent, llink, rlink;}; 哈夫曼树可定义为： struct HtTree { struct HtNode ht[MAXNODE]; int root；/* 树根在数组中的下标*/ };typedef struct HtTree *PHtTree; 哈夫曼算法（初始化） 问题分析： 优先队列的作用？ 找最小值、次小值结点。 优先队列操作流程？ 所有叶结点先入队。 弹出两个头部最小结点。 构造一棵子树。 子树头节点入队。 作业： 1、使用优先队列提高huffman树的构建效率。 先思考解题方案，7号上机给出环境后再提交。 提交：4月10日 2、写一个函数seqTree(),输入一棵链接形式二叉树（根节点指针），返回(输出)一棵带父指针的顺序结构的二叉树。根节点放在下标为0的数组元素内。在3月31号作业的基础上实现。 要求写出解题算法思路。 （选作 email提交 4月4号前） 哈夫曼树及其应用 哈夫曼树 哈夫曼算法 哈夫曼编码 德 智 5 体 7 70 18 内部节点 Y N Y Y N N 100 德 智 5 体 7 70 18 内部节点 Y N Y Y N N 100 外部路径 两个概念 “外部路径长度” E:在扩充的二叉树里从根到每个外部结点的路径长度之和。 其中，li为从根到第i个外部结点的路径长度，m为外部结点的个数。 设扩充二叉树具有m个带权值的外部结点，那么从根结点到各个外部结点的路径长度与相应结点权值的乘积的和，叫做扩充二叉树的带权的外部路径长度。 其中，wi是第i个外部结点的权值，li为从根到第i个外部结点的路径长度，m为外部结点的个数。 智 体 70 德 7 18 5 内部节点 Y N Y Y N N 100 给定权值 {7，5，2，4}，构造哈夫曼树 a b c d 7 5 2 4 (a) 6 7 5 c d (b) 11 b 5 7 c d (c) 6 a 7 11 c d b 5 6 2 4 (d) 18 哈夫曼树的存储实现 存储结构可以有多种，如二叉链表、三叉链表等。下面给出一种顺序结构(一维数组），结点结构：