十___定积分的应用.pptVIP

* * 第 十 章??? 定 积 分 的 应 用 § 1??平 面 图 形 的 面 积 教学内容： 平面图形面积的计算 教学目的： 理解定积分的意义；学会、掌握微元法处理问题的基 本思想 熟记平面图形面积的计算公式。 一．??直角坐标系下平面图形的面积 ： 由定积分的几何意义，连续曲线 与直线： 轴所围成的曲边梯形的面积为： a 0 x y b b o c d e x y o a x—区域 y—区域 y x o a b x y o a b 如果平面区域既不是x—型区域，也不是y—型区域，则用一组平行于坐标轴的直线，把平面区域分成尽可能少的若干个x—型 区域与y—型区域，然后计算每一区域的面积，则平面区域总 的面积等于各区域面积之和。如右下图： 上曲线由三条不同的曲线：AB、BC与CD 构成；下曲线由两条不同曲线：EF与FG所构成。为计算其面积，可分别过点B、C与F作平行于 y轴的直线，则把平面区域分成4个x—型区域。 y x E a b A B C D F G o 所给的区域不是一个规范的x-域,? 如图需将其切成两块,? 即可化成x-形区域的面积问题。 第一块的面积 ： A B ,第二块的面积 ： ,总面积： 二、由参数方程表示的曲线所围成平面图形的面积 设区间 上的曲边梯形的曲边由方程由参量方程表示 且： 在 上连续， ， （对于 或? 的情况类似讨论），则 计算中，主要的困难是上下限的确定。上下限的确定通常有两种方法： 1）具体计算时常利用图形的几何特征 2）从 参数方程 定义域的分析确定 例3? 求摆线??? 的一拱与x 轴所围的平面图形的面积?(如图阴影部分) 由图看出, 对应原点 (0 , 0 ) ,? 对应一拱的终点 ,所以其面积为: 三、极坐标下平面图形的面积 o x ? 和参数方程一样，极坐标情况面积的计算主要困难是积分上下限的确定。确定上下限方法通常也是 1）利用图象；2）分析 定义域 （见下页示图） 例4? 求双扭线 所围成的平面图形的面积 x y § 2?? 由平行截面面积求体积 ? 1、已知平行截面面积（函数）求体积的公式 上节我们学习了平面图形面积的计算，还利用分割、求和的分析方法，导出了极坐标下平面图形的面积公式 : ? 现在我们看右图一个空间立体，假设我们知道它在x 处截面面积为A(x)，可否利用类似于上节极坐标下推导面积公式的思想求出它的体积？ x A(x) 如果像切红薯片一样，把它切成薄片，则每个薄片可近似 看作直柱体，其体积等于底面积乘高， 所有薄片体积加在一起就近似等于该立体的体积 由此可得: 这里，体积的计算的关键是求截面面积A(x) , 常用的方法先 画出草图，分析图象求出A(x). 例 1? 求两圆柱:???? ? 所围的立体体积?. 解：两圆柱所围成的立体是关于8个卦限对称的，因此，它的体积是其在第一卦限体积的8倍。如何求其在第一卦限的体积？ 下图就是其在第一卦限部分立体： ? 该立体被平面 （因为两圆柱半径相同）所截的截面,是一个边长为 ?的正方形, 所以截面面积 。 2、旋转体体积公式 y o x y x o y x o ?§3.?? 平面曲线的弧长与曲率 本节主要介绍平面曲线弧长的计算公式 一、平面曲线的弧长 1、平面曲线弧长的概念 我们已经学习过，利用刘嶶割圆术定义了圆的周长，现将刘嶶的割圆术加以推广，则可定义出平面曲线的弧长，并得到平面曲线弧长的计算公式。 x =A =B y o x y x y x 0 y §4 旋转曲面面积 一、微元法