医用基础化学章.pptVIP

为其无穷间断点 . 为其振荡间断点 . 例如: 显然 为其可去间断点。 (4) (5) 为其跳跃间断点。 内容小结 左连续 右连续 在点 连续的等价形式 一切基本初等函数在其定义域内都是连续的。 1.3.3 初等函数的连续性 一、基本初等函数的连续性 二、连续函数的运算 【定理6】 见书 例如, 在 内连续。 在其定义域内连续。 三、复合函数的连续性 【定理7】设函数 当 时极限存在且等于 ,即 ;函数y=f(u)在相应点 连续,即 ,则复合函数 当 时的极限也存在且等于 ,即 。 【推论5】设函数 ,当 时连续,即 ,函数y=f(u)在相应点 连续, 则复合函数 当 时连续,即: 理解： 例20 求极限 。 解： 连续,根据定理7有 函数 可看作由 复合而成,因为 ,而 在相应点 例21 讨论函数 的连续性。 解： 函数 可看作由 复合而成,因 为 在 上连续, 在 上连续,根据推论5得 在 上连续。 练习1: 求 解: 原式 练习2: 求 解:令 则 原式 说明:当 时,有 是由连续函数 在 上连续 . 练习4：讨论 的连续性 解： 因此 复合而成, 练习3 求 解： 初等函数在其定义区间内是连续的,所谓定义区间是只包含在定义域内的区间。 四、初等函数的连续性 例22 求函数 的连续区间,并求当 时,f(x)的极限。 解： 续区间就是它的定义区间,f(x)在(-∞,-1)及在 因为 是初等函数,所以f(x)的连 (-1,1)∪(1,+∞)上有定义,故f(x)的连续区间 为(-∞-1)∪(-1,1)∪(1,+∞).又因为x=0为f(x) 连续区间内一点,所以 ,即 函数y=f(x)在区间上单值,单调增加(或单调减少)且连续,则其反函数 在对应的区间上也单值、单调增加(或单调减少)且连续。 例如, 在 上连续单调递增,其反 函数 在[－1,1]上也连续单调递增. 在 上连续 单调 递增, 其反函数 在 上也连续单调递增. 又如, 在(-∞,+∞)内单调且连续 在(0,+∞)内单调且连续。 注意:　 初等函数求极限的方法代入法: x∈定义区间。 内容小结 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数的四则运算的结果连续 连续函数的反函数连续 连续函数的复合函数连续 初等函数在定义区间内连续 说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其左、 右连续性。 作业： 【定理8】（最大值最小值定理） 闭区间[a,b]上的连续函数f(x)在该区间上至少取得它的最大值M和最小值m各一次。如图所示. 1.3.4 闭区间上连续函数的性质 注意: 间断点,结论不一定成立。 若函数在开区间上连续,或在闭区间内有 例如, 无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如, 闭区间[a,b]上的连续函数f(x)一定有界。 因为 取 所以当 时,有 成立. 【推论6】 【定理9】(介值定理）设函数f(x)在闭区间 上连续,且 ,C为A与B之 间的任意一个值,则在开区间 内至少存 在一点 ，使 ,如图所示。 连续曲线y=f(x)与水平直线y=c至少相交于一点 【推论7】y=f(x)在区间 上连续,且 时,则在开区间 内至少存在一点 ,使 如图所示。 连续曲线y=f(x)与x轴至少相交于一点 例23 证明三次方程 至少有一个实 根介于0和1之间。 解： 令 ,它为初等函数,在闭区 间[0,1]上连续,且f(0)=-10,f(1)=30,由定 理9推论7可知,在开区间(0,1)内至少存在一 在(0,1)内至少有一个实根。 点,使得 ,说明方程 内容小结 在 上达到最大值与最小值; 上可取最大与最小值之间的任何值; 4.当 时, 使 必存在 上有界; 在 在 设 ,则 1. 任给一张面积为A的纸片(如图), 证明必可 思考与练习： 将它一刀剪为面积相等的两片. 提示: 建立坐标系如图. 则面积函数 因 故由介值定理可知: 证明至少存 使 提示:令 则 易证 2.