高考数学之不等式放缩常用技巧(带答案).docVIP

高考数学备考之证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：奇巧积累:(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) 一、裂项放缩的值; (2)求证:. 解析:(1)因为,所以 (2)因为,所以 例2.(1)求证: (2)求证: (3)求证: (4) 求证：解析:(1)因为,所以 (2) (3)先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案 (4)首先,所以容易经过裂项得到 再证而由均值不等式知道这是显然成立的，所以 例3.求证:解析:一方面: 因为,所以另一方面: 当时,,当时,,当时,,所以综上有 ＜１＋= =1＋ (－) =1＋1＋－－＜2＋＜3． 例5、已知数列满足求证： 证明: 例6.已知,,求证:. 解析: 所以 从而 二、函数放缩 例.求证：. 解析:先构造函数有,从而 所以 例.求证:(1) 解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案函数构造形式: ,例.求证: 解析:提示: 函数构造形式: 例.求证: 解析:,叠加之后就可以得到答案 函数构造形式:例1. 已知证明. 解析: , 然后两边取自然对数,可以得到 然后运用和裂项可以得到答案) 放缩思路： 。于是， 即 注：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩： ， 即 例1. 已知函数是在上处处可导的函数,若在上恒成立. (I)求证：函数上是增函数； (II)当； (III)已知不等式时恒成立， 求证： 解析:(I),所以函数上是增函数 (II)因为上是增函数,所以 两式相加后可以得到 (3) …… 相加后可以得到: 所以令,有 所以 所以 又,所以 三、分式放缩 姐妹不等式:和 记忆口诀”小者小,大者大” 解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之. 例1. 姐妹不等式:和 也可以表示成为 和 解析: 利用假分数的一个性质可得 即 例.证明: 解析: 运用两次次分式放缩: (加1) (加2) 相乘,可以得到: 所以有四、分类放缩 例.求证:解析: 证明： 此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。 五、求证: 设则 ,从而 ,相加后就可以得到 所以 求证: 设则 ,从而 ,相加后就可以得到 例19. 若,求证: 所以就有、设求证 此数列的通项为 ，， 即 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放过“度”了！ ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 其中，等的各式及其变式公式均可供选用。已知函数，若，且在[0，1]上的最小值为，求证： 例22、已知，证明：不等式对任何正整数都成立. 证明：要证，只要证 . 因为 ，， 故只要证 ， 即只要证 . 因为， 所以命题得证. 本题通过化简整理之后，再利用基本不等式由放大即可. 七、.若在区间上的最小值为, 令.求证:. 证明:首先:可以得到.先证明 (方法一) 所以 (方法二)因为,相乘得: ,从而设A=,B=,因为AB,所以A2AB,, 从而. 下面介绍几种方法证明 (方法一)因为,所以,所以有