命题及其关系、充分条件与必要条件.docVIP

第一讲 命题及其关系、充分条件与必要条件 教学目标：1.理解命题的概念． 2.了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题和逆否命题，会分析四种命题的相互关系． 3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.知识点1、命题 在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．知识点2、四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系 (2)四种命题的真假关系： 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； 两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．知识点3、充分条件与必要条件 (1)如果pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)如果pq，qp，则p是q的充分必要条件．记作pq. 例题辨析 推陈出新 例1、在命题p的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，真命题的个数记为f(p)，已知命题p：“若两条直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0，l2：a2x＋b2y＋c2＝0平行，则a1b2－a2b1＝0”．那么f(p)等于(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 [自主解答]　原命题p显然是真命题，故其逆否命题也是真命题．而其逆命题是：若a1b2－a2b1＝0，则两条直线l1与l2平行，这是假命题，因为当a1b2－a2b1＝0时，还有可能l1与l2重合，逆命题是假命题，从而否命题也为假命题，故f(p)＝2. [答案]　B变式练习1．设原命题是“当c0时，若ab，则acbc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假． 解：“当c0时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是ab，结论是acbc. 因此它的逆命题：当c0时，若acbc，则ab.它是真命题；否命题：当c0时，若a≤b，则ac≤bc.它是真命题； 逆否命题：当c0时，若ac≤bc，则a≤b.它是真命题. 例2(1)(2012·浙江高考)设aR，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　) A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)下面四个条件中，使ab成立的充分不必要的条件是(　　) A．ab＋1 B．ab－1 C．a2b2 D．a3b3 [自主解答]　(1)“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的充要条件是：由＝≠，解得a＝－2或1. 故“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的充分不必要条件． (2)ab＋1a－b10ab，但a＝2，b＝1满足ab，但a＝b＋1，故A项正确．或用排除法：对于B，ab－1不能推出ab，排除B；而a2b2不能推出ab，如a＝－2，b＝1，(－2)212，但－21，故C项错误；aba3b3，它们互为充要条件，排除D. [答案]　(1)A　(2)A 变式练习2．已知命题p：函数f(x)＝|x－a|在(1，＋∞)上是增函数，命题q：f(x)＝ax(a0且a≠1)是减函数，则p是q的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　若命题p为真，则a≤1；若命题q为真， 则0a1.由q能推出p但由p不能推出q， p是q的必要不充分条件． 例3已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}． (1)是否存在实数m，使xP是xS的充要条件，若存在，求出m的范围； (2)是否存在实数m，使xP是xS的必要条件，若存在，求出m的范围． [自主解答]　(1)由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10， P＝{x|－2≤x≤10}， x∈P是xS的充要条件，P＝S， ∴ 这样的m不存在． (2)由题意xP是xS的必要条件，则SP. ∴ ∴m≤3. 综上，可知m≤3时，xP是xS的必要条件． 3．已知不等式1的解集为p，不等式x2＋(a－1)x－a0的解集为q，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　　) A．(－2，－1]　　　　　　　　B．[－2，－1] C．[－3,1] D．[－2，＋∞) 解析：选A　不等式1等价于－10，即0，解得x2或x1，所以p为(－∞，1)(2，＋∞)．不等式x2＋(a－1)x－a0可以化为(x－1)(x＋a)0，当－a≤1时，解得x1或x－a，即q为(－∞，－a)(1，＋∞)，此时a＝－1；当－a1时，不等式(x－1)(x＋a)0的解集是(－∞，1)(－a，＋∞)，此时－a2，即－2a－1.综合知－2a≤－1. 归纳1个转化——正难则反的转化 由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而当判断一个命题的真假比较困难时，可转