命题、充要条件.docVIP

命题及其关系、充分条件与必要条件 自主梳理 1．命题 2．四种命题及其关系 (1)四种命题 (2)四种命题间的关系 原命题： 逆命题： 否命题： 逆否命题： (3)四种命题的真假性 ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性． ②两个命题为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件与必要条件 若p?q，则p叫做q的充分条件；若q?p，则p叫做q的必要条件；如果p?q，则p叫做q的充要条件． 自我检测 1．设集合A＝，B＝{x|0x3}，那么“m∈A”是“m∈B”的________条件． 2．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是________．(填序号) ①p：a＋cb＋d，q：ab且cd； ②p：a1，b1，q：f(x)＝ax－b(a0，且a≠1)的图象不过第二象限； ③p：x＝1.q：x2＝x； ④p：a1，q：f(x)＝logax(a0，且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数． 3．设a、b都是非零向量，那么命题“a与b共线”是命题“|a＋b|＝|a|＋|b|”的________条件． 4．与命题“若a∈M，则b M”等价的命题是____________________． 5．给出下列命题： ①原命题为真，它的否命题为假； ②原命题为真，它的逆命题不一定为真； ③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真； ④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真； ⑤“若m1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋30的解集为R”的逆命题． 其中真命题是________．(把你认为正确命题的序号都填在横线上) 探究点一　四种命题及其相互关系 例1　写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假． (1)实数的平方是非负数； (2)等底等高的两个三角形是全等三角形； 变式迁移1　有下列四个命题： ①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题； ④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题． 其中真命题的序号为________． 探究点二　充要条件的判断 例2　给出下列命题，试分别指出p是q的什么条件． (1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0. (2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等． (3)p：m－2；q：方程x2－x－m＝0无实根． (4)p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等． 变式迁移2　下列各小题中，p是q的充要条件的是________．(填序号) ①p：m－2或m6；q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点； ②p：＝1；q：y＝f(x)是偶函数； ③p：cos α＝cos β；q：tan α＝tan β； ④p：A∩B＝A；q：?UB??UA. 探究点三　充要条件的证明 例3　设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°. 变式迁移3　已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. 例　已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，且m∈Z.求两方程的根都是整数的充要条件． 一、填空题 1．给出以下四个命题： ①若ab≤0，则a≤0或b≤0；②若ab，则am2bm2；③在△ABC中，若sin A＝sin B，则A＝B；④在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若b2－4ac0，则方程有实数根．其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是________．(填序号) 2．对任意实数a，b，c，给出下列命题： ①“a＝b”是“ac＝bc”的充分且必要条件；②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充分且必要条件；③“ab”是“|a||b|”的充分条件；④“a5”是“a3”的必要条件．其中真 3．“α＝＋2kπ(k∈Z)”是“cos 2α＝”的______________条件． 4．关于命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c0}≠?”的逆命题、否命题、逆否命题中正确的个数为________． 5．集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|xa}，则“A?B”是“a5”的________条件． 6．“x10且x20”是“x1＋x20且x1x20”的________条件． 7．已知p：(x－1)(y－2)＝0，q：(x－1)2＋(y－2)2＝0，则p是q的____________条件． 8．已知p(x)：x2＋2x－m0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为________． 二、解答题 10．设p：实数x满足x2－4ax