经典截长补短法巧解.docVIP

截长补短法 截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。通常来证明几条线段的数量关系。 截长补短法有多种方法。 截长法： （1）过某一点作长边的垂线 （2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。…… 补短法 （1）延长短边。 （2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。…… 例： 在正方形ABCD中，DE=DF，DGCE，交CA于G，GHAF，交AD于P，交CE延长线于H，请问三条粗线DG，GH，CH的数量关系 方法一（好想不好证） 方法二（好证不好想） 例题不详解。 （第2页题目答案见第3、4页） （1）正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，EAF=45。 求证：EF=DE+BF （1）变形a 正方形ABCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上，EAF=45。 请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？ （1）变形b 正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，EAF=45。 请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？ （1）变形c 正三角形ABC中，E在AB上，F在AC上EDF=45。DB=DC，BDC=120。请问现在EF、BE、CF又有什么数量关系？ （1）变形d 正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，EAD=15，FAB=30。AD= 求AEF的面积 （1）解：（简单思路） 延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。 由四边形ABCD是正方形得 ADG=ABF=90 AD=AB 又DG=BF 所以ADGABF（SAS） GAD=FAB AG=AF 由四边形ABCD是正方形得 DAB=90=DAF+FAB =DAF+GAD=GAF 所以GAE=GAF-EAF =90-45=45 GAE=FAE=45 又AG=AF AE=AE 所以EAGEAF（SAS） EF=GE=GD+DE=BF+DE 变形a解：（简单思路） EF= BF-DE 在BC上截取BG，使得BG=DF，连接AG。 由四边形ABCD是正方形得 ADE=ABG=90 AD=AB 又DE=BG 所以ADEABG（SAS） EAD=GAB AE=AG 由四边形ABCD是正方形得 DAB=90=DAG+GAB =DAG+EAD=GAE 所以GAF=GAE-EAF =90-45=45 GAF=EAF=45 又AG=AE AF=AF 所以EAFGAF（SAS） EF=GF=BF-BG=BF-DE 变形b解：（简单思路） EF=DE-BF 在DC上截取DG，使得DG=BF，连接AG。 由四边形ABCD是正方形得 ADG=ABF=90 AD=AB 又DG=BF 所以ADGABF（SAS） GAD=FAB AG=AF 由四边形ABCD是正方形得 DAB=90=DAG+GAB =BAF+GAB=GAF 所以GAE=GAF-EAF =90-45=45 GAE=FAE=45 又AG=AF AE=AE 所以EAGEAF（SAS） EF=EG=ED-GD=DE-BF 变形c解：（简单思路） EF=BE+FC 延长AC到点G，使得CG=BE，连接DG。 由ABC是正三角形得 ABC=ACB=60 又DB=DC，BDC=120 所以DBC=DCB=30 DBE=ABC+DBC=60+30=90 ACD=ACB+DCB=60+30=90 所以GCD=180-ACD=90 DBE=DCG=90 又DB=DC，BE=CG 所以DBEDCG（SAS） EDB=GDC DE=DG 又DBC=120=EDB+EDC =GDC+EDC=EDG 所以GDF=EDG-EDF =120-60=60 GDF=EDF=60 又DG=DE DF=DF 所以GDFEDF（SAS） EF=GF=CG+FC=BE+FC 变形d解：（简单思路） 延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。 过E作EHAG.前面如（1）所证， ADGABF，EAGEAF GAD=FAB=30，SEAG=SEAF 在RtADG中，GAD=30，AD= AGD=60，AG=2 设EH=x 在RtEGH中和RtEHA中 AGD=60，HAE=45 HG=x，AH=x AG=2=HG+AH=x+x,EH=x=3- SEAF=SEAG=EHAG2=3-. （第5页题目答案见第6页） （2） 正方形ABCD中，对角线AC与BD交于O，点E在BD上，AE平分DAC。 求证：AC/2=AD-EO （2）加强版 正方形ABCD中，M在CD上，N在DA延长线上，CM=AN，点E在BD上，NE平分DNM。 请问MN、AD、EF有什么数量关系？ （2）解：（简单思路） 过E作EGAD于G 因为四边形ABCD是正方形 ADC=90，BD平分ADC，ACBD 所以ADB=ADC/2=45 因为AE平分DAC，EO