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第九章 杆件结构力学问题 §9.1 直梁 §9.1.1 结点位移与结点载荷 图9-1（a）为一简单的变截面梁，Z、M为施加于截面B处的集中力及力偶，是外载荷。按此梁的结构及受力情况，很自然地可将它们分为3段，每段为一个单元。各段间交界的截面可视为连接单元的结点。实际的结构可简化为图9-1（b）所示的计算模型。结构有3个单元，4个结点，各单元与结点统一编号如图9-1（b）所示。 图9-1 按平截面假设，梁受载荷发生弯曲变形时，各截面的位移应包括截面中性轴处的挠度f及截面的转角θ，这两项就是结点处位移的两个分量（广义位移）。任一结点i处位移的两个分量为及，可以用列阵表示 称为i结点的结点位移，对应于结点位移任一结点i的载荷也有两个分量，即横向力和弯矩力偶；它们是与结点位移相对应的广义力，也可用列阵表示 称为i结点的结点载荷；如梁被划分有n个结点，显然它应有2n项结点位移分量和2n项结点载荷分量。此直梁结构的全部结点位移可记为，全部结点载荷可记为，它们都可视为各具有2n个分量的矢量。 为了计算方便，结点位移和结点载荷的正向应互相一致。规定：和都以向上方为正，和 都以逆时针为正。 若直梁结构只受有集中力载荷，在做上述分析时，受集中力处应作为结点。若梁受有分布载荷时，可近似地将它分作为等效的集中力，作用在相应的结点上。 §9.1.2 单元特性分析——单元刚度矩阵 整个梁结构是由单元组成，为求全部结点位移与结点载荷之间的关系，可先分析每个单元结点力与结点位移之间的关系。图9-2表示梁内任意一个单元，设单元编号为e，两个结点编号为i，j。则结点位移为 ， 一个单元有两个结点，共有4项结点位移分量，用表示e单元的全部结点位移，则 称为e单元的结点位移向量。 梁受载荷而变形时，每个结点受到切力和弯矩作用，e单元的i，j两结点所受作用力可表示为 ， 单元的全部结点力可用载荷列阵表示，即 注意：各点的作用力的方向的规定与材料力学不同，此处与坐标方向一致为正。 由上述分析可见，梁结构的每个单元都是在两端受力作用而发生变形的。在弹性小变形情况下，两者有线性关系，可用矩阵形式表示 （9.1） 简记为 为单元的刚度矩阵。 如梁单元的4项结点位移分量另作编号，记为，相应的结点力另作编号，记为，则（9.1）式可写为 由上式很容易看出：当，且时，有，一般地当某项位移，且其余位移分量为零时，对应的一组结点力为 即单元刚度阵中任一元素应等于：当号结点位移分量为1，且其他结点位移分量为零时，对应的m号结点力分量。这再一次描述了单元刚度矩阵中各元素的物理意义。应该注意的是：此处所述位移为广义位移。由功的互等定理可知 下面具体讨论任一单元的受力情况。 设e单元的长度为l，弹性模量为E，截面惯性矩为I，当，且时，梁单元变形如图1-3所示，相当于一种悬臂梁的变形。由梁的变形公式有： 转角 可解出 ， 再由平衡方程解得 ， 可得 ， 又当（弧度），且时，梁单元变形如图9-4所示，相当于另一种悬臂梁的变形，同样由梁的变形公式及平衡方程可以得到 ， ， 用同样的方法，可解得单元刚度阵的其余各元素，于是有 （9.2） 由上面的计算结果可以看出，单元刚度是对称的。 在有限元分析中，常常将位移、力及刚度矩阵都按结点来分组。如图9-2所示的单元，单元的结点力和结点位移按分组可写为 及 单元刚度矩阵（9.2）也可写成分块矩阵的形式，即 于是矩阵方程可表示为 §9.1.3 单元的集合和刚度矩阵的叠加 例题中，共有三个单元，每个单元都有式（9.3）的方程，即 （9.4a） （9.4b） （9.4c） 由于结构在外力作用下平衡（静力），则结构上任一点在外力作用下也是平衡的。为了分析结构各单元的结点力的相互关系，在结点邻域内作隔离体，如图9-5。 根据结点2的平衡条件，可得 或写成子块形式 （9.4d） 上式也可理解为：结点2上受到外载荷作用，此载荷则要分配到与结点2相连的单元（1）、（2）的结点上，就是相邻单元在结点2处的结点力与，它们可以由式（9.4a）、（9.4b）中求得。 为了便于求和，将各单元的矩阵方程扩大，即 将单元的矩阵方程相加得 上式简写为 式中 但应注意：当结构具有2n自由度时，单元结点力列阵应扩大为的向量，单元刚度矩阵应扩大为的方阵。 如果结构具有n个结点，m个单元，则结构的总体载荷列阵应为 结构的总体刚度矩阵为 方程的求解与其它单元求解线性方程组的方法一致。 §9.2 平面刚架 §9.2.1 单元与结点 平面刚架是工程中广泛应用的一种杆件结构。对于任意的平面刚架（如图9-6），如载荷都集中作用于结点，则可将结构中每一个