極坐标系下平面图形的面积旋转体的体积.docVIP

第三十讲 极坐标系下平面图形的面积 旋转体的体积 重点：极坐标系下平面图形的面积、旋转体体积的计算 难点：极坐标系下平面图形的面积 一、极坐标系下平面图形的面积 某些平面图形，用极坐标来计算它们的面积比较方便。 设由曲线及射线，围成的图形（简称为曲边扇形），现在要计算它的面积（图6—6）。此时曲线所围成的平面区域用不等式组表示为 。 当?在[,]上变动，极径也随之变动，因此所求图形的面积不能直接利用圆扇形面积公式来计算。 选极角?为积分变量，它的变化区间为[,]。在[,]上任取一小区间[,]，小区间[，]所对应的小曲边扇形的面积可以用半径为、中心角为的圆扇形的面积来近似代替，从而得到曲边扇形的面积元素 。 于是，所求曲边扇形的面积为 。 即当曲线所围成的平面区域可用不等式组表示为 ， 则平面曲线所围成的面积为 。 例4 求心形线所围成图形的面积（）。 解 如图6—7所示。这个图形关于极轴对称，因此所求面积是极轴以上部分图形面积的两倍，曲线在极轴上方部分围成部分用不等式组表示为 。 因此所求面积为 A= = = = =。 例5 求由曲线和所围成公共部分的面积。 解 如图6—8所示。为了求两条曲线的交点，解方程组 得两曲线的交点为、。考虑到图形的对称性，因此所求面积是极轴以上部分图形面积的两倍，曲线在极轴上方部分围成部分用不等式组表示为 与 因此所求面积 A= = =+ =。 一平面图形绕这平面内的一条直线旋转所成的立体称为旋转体，该直线称为旋转轴。 车床加工的工件，很多都是旋转体。常见的旋转体有圆柱、圆锥、圆台和球体等。下面我们用微元法来推导旋转体的体积公式。 设旋转体是由曲线、直线、及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体（图6—9）。 选为积分变量，它的变化区间为[,]。在[,]上任取一小区间[,]，小区间[,]所对应的曲边梯形绕轴旋转一周而成的薄片的体积近似于以为底半径、为高的圆柱体的体积，即体积元素 于是，所求旋转体的体积 。 用与上面类似的方法可以推出：由曲线、直线、与轴所围成的曲边梯形，绕轴旋转一周而成的旋转体的体积为 。 例1 求由椭圆所围的平面图形绕轴旋转所成的旋转体（叫做旋转椭球体）的体积。 解 这个旋转椭球体可以看作是由半个椭圆 及轴围成的图形绕轴旋转而成的立体。由旋转体的体积公式，有 = =。 当时，旋转椭球体就成为半径为的球体，它的体积为。 例2 求由与所围图形绕轴旋转所成旋转体的体积。 解 为了求两曲线的交点，解方程组 得交点坐标为（0,0）、（1,1）。 选为积分变量，?[0,1]。在[0,1]上任取小区间[,]，小区间[,]所对应的曲边梯形绕轴旋转一周的体积近似于以底、为高的矩形绕轴旋转一周的体积，因此体积元素 = 于是，所求体积 ==。