重叠相加法计算圆周卷积.doc

1理论分析 1．1 圆周卷积的定义 对两个N点序列和，除了可以做线性卷积外，还有一种很重要的卷积运算，还有一种很重要的卷积运算，就是圆周卷积。 若、的离散付里叶变换分别为、，且有 = 则 =IDFT[] = 上式即为序列与的圆周卷积，习惯表示为 =⊙ 圆周卷积与周期卷积之间的关系，就是有限长序列圆周卷积结果的周期延拓，等于它们周期延拓后的周期卷积。换句话说，周期卷积的主值序列，是各周期序列主值序列的圆周卷积。周期卷积得到是周期序列，圆周卷积得到的是有限长序列，而且长度等于参加卷积的序列的长度。 1．2 圆周卷积的计算 若、分别是长度为N、M的序列则与线性卷积至多M+N-1个非零值，如果LM+N-1则周期延拓时必然会有一部分非零值发生混叠；只有当LM+N-1时，周期延拓才不会发生混叠。 之所以讨论用圆周卷积来计算线性卷积的条件，是因为圆周卷积可在频域下利用DFT求得，从而可采用DFT的快速算法FFT来计算，这样就可以利用FFT来计算线性卷积，大大提高运算效率。 圆周卷积与周期卷积的卷积过程一样，只是结果只取主值序列，其具体步骤结构框图大致如下所示： 图1-1 圆周卷积计算结构框图 1．3 重叠相加法 在实际应用中利用FFT来计算两个序列的圆周卷积从而实现计算其线性卷积，但是常遇到的问题是参加卷积的两个序列的长度相差较大，这样长度小的序列就需要补很多的零点，这样就需要打的存储量，运算时间也会变长。所以常用到的解决方法有两种，其中一种就是重叠相加法。 设 h(n)长度为N，x(n)长度为无限长，x(n)取M点，且与N尽量接近。 = = x(n)与h (n)的卷积为： * =* = 重叠相加法实现步骤如下： （1）将h(n)补零延长到L =M+ N -1，并计算长为L的FFT，得到 H(k)。 （2）分别将xk(n)补零延长到L =M+ N -1，并计算长为L的FFT，得到 Xk(k) （3）计算，并求长为L的反变换，即 （4）将yk(n)的重叠部分相加，最后得到结果为 2 圆周卷积程序设计 2．1 程序设计基本构思 由时域与频域的关系可知，两序列和在时域下进行线性卷积的结果等于这两个序列在频域下相乘后进行反变换回时域的结果。 圆周卷积在一定条件下（LM+N-1）与线性卷积得到的结果相同，而圆周卷积可在频域下利用DFT求得，从而可采用DFT的快速算法FFT来计算，这样就可以利用FFT来计算线性卷积，大大提高运算效率。而在利用FFT来计算圆周卷积的过程中当两序列的长度相差较大时采用重叠相加法来进行计算可有效提高计算的效率，减小存储空间的消耗。 2．2 程序设计步骤 卷积函数程序设计：（1）x1(n)进行N点快速傅里叶变换得X1(k) （2）x2(n)进行N点快速傅里叶变换得X2(k) （3）进行频域相乘Y(k)=X1(k)*X2(k) （4）对Y(k)进行反变换得到时域卷积y(n) 图2-1 卷积函数程序设计框图 重叠函数程序设计：（1）首先取圆周卷积的周期L（即进行L点的快速傅里叶变换） （2）计算每一分段的大小N （3）填充序列使得循环中对序列的索引不会超出范围 （4）计算分段数K （5）对序列进行分段调用juanji()函数计算圆周卷积 （6）各段重叠相加 （7）取出实际的输出序列 图2-2 重叠函数程序设计框图 3 程序代码 3．1 主程序代码 x1=[ 1,2,3,4,5,5,4,3,2,1]; x2=[ 1,0,1]; L=8; y=chongdie(x1,x2,L); s=1:10;subplot(2,2,1); stem(s,x1) %作出序列x1图形 r=1:3;subplot(2,2,2); stem(r,x2) %作出序列x2图形 u=1:13;subplot(2,2,3); stem(u,y) %作出输出序列y图形 3．2 重叠函数程序代码 function[y]=chongdie(x,h,L) Lenx=length(x); %取x(n)的长度 M=length(h);