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复分析期末试题（2007 7 07） 任课教师 张广远 填空（每小题4分） a是f的m阶零点，求在点的留数。 是调和函数，是的共轭调和函数，其中 ，求，。 3.级数，求其收敛区域。 4.,取单值解析分支，，那么？ 5.分式线性变换把1，，2分别映为，i，-。那么此变换把映为什么，请具体叙述。 6.求 二．求下列积分。(每题5分) 1. 2. 3. 4. 三．求下列实积分。（每题7分） 1. 2. 四．一个区域上的调和函数， 要么没有零点，要么只有孤立零点。（本题10分） 五．一个解析函数Taylor展开式为，总把实数映为实数，证明：为实数。 （本题10分） 六．为整函数，求证：（本题11分） 七．(其中为的圆盘)是一个单叶解析满射，， 求证：（本题5分） 八：写出所有（），f为单页解析映射并证明。（本题5分） 另：P(z)=z^7+23z^3+26z+1问1|z|2中P(z)有几个零点又问在r=3的圆上的积分SS??P(z)/P(z)*dz?=?S?r=3设D是一个区域，f(z)在D及其边界上连续且处处非零，|f(z)|在D的边界上是常数用最大模原理证明f(z)在D内是常数把带形区域{0ImZpi}映射到|w|1，且满足f(pi?*?j?/?2)=0,f(pi?*?j?/?2)0求变换并问这样的变换是否唯一？一?填空1.用cosx,sinx及其次幂表示sin5x=_________2.设函数my^3+nx^2y+i(x^3+lxy^2)解析，则常数l=______,m=______,n=______3.求积分cosπz/(z-1)^5?(|z|=2)4.确定级数Σa^n/z^n+Σz^n/b^n(a与b为复常数,且|a||b|)的收敛范围5.求级数Σ(z-1)^n/n的收敛半径r=______,并指出z=0和z=2的收敛情况6.求留数Res[(1-cosz)/z^3,0]=______7.设w=(az+b)/(cz+d)(其中ac!=0,ad-bc!=0),则w(0)=______,w在0点的转动角是______,伸缩率是______8.把具有割痕Re(z)=0,0=Im(z)=a的上半平面映射成上半平面的一个映射是______9.复平面上的虚轴Oy在映射w=(z+ia)/(-z+ia)(其中a!=0实数)下的像是______二?简答1.计算积分z^2,积分路线为:自原点沿实轴至3,再由3铅直向上至3+i2.已知调和函数u=2(x-1)y,求解析函数f(z)=u+iv,使f(2)=-i,并求其导数3.在下列圆环域内将函数1/(z-1)(z-2)展开成洛朗级数:0|z-1|1,0|z-2|1??????????????????????????????????_??_?_4.证明,复平面上的圆周方程具有形式zz+az+az+c=0(其中a为复常数,c为实常数),并证明w=1/z具有保圆性5.讨论,当复参数a取何值时,复数列Zn=a^n,ζn=a^n/(1+a^n)分别收敛三?证明证明,对于复变函数w=f(z)1.如果在z点极限lim?(Re?Δw/Δz)存在,则偏导数?偏u/偏x,偏v/偏y存在且相等?????????????Δz-02.如果在z点极限lim?(Im?Δw/Δz)存在,则偏导数?偏v/偏x,偏u/偏y存在且?偏u/偏y=-?????????????Δz-0偏v/偏x1.计算Re(Ln(z-1)),z^z,其中z=re^(iθ)2.f(z)=0?当z=0??f(z)=sin(arg(z)),?z不等于0?讨论f(z)连续性3.计算积分???单位圆周：?被积函数∫|z^2-1||dz|??定积分：???-无穷--+无穷??被积函数?(1-x)/(1-x^5)?疯了4.证明???f(z)在D内解析，I简单闭曲线???证明∫(f(z)的共轭）*(f(z))dz为纯虚数5.展开级数???Ln(sinz/z)到z^6为止???罗朗级数?(z^2+4z+5)/(z-2)(z^2+1)?在0|z-2|根号5?内展开??变态！6.共型映射?????1.求将上半平面变成单位园并且把1/2变成圆心的映射????2.求将全平面除去上半单位圆弧的区域映射成单位园外部，并且∞映射到∞7.求所有形如u=ax^3+bx^2y+cxy^2+dy^3的调和函数，并求其共轭函数和构成解析函数