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复变函数(四版)课后习题答案
习题一解答
1．求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角。
（3）(3+ 4i)(2 ? 5i)
；
（4）i8 ? 4i 21 +
i
1
3+ 2i
1
3i
1? i
（1）
；
（2） ?
；
i
2i
3+ 2i = (3+ 2i)(3? 2i) = 1 (3? 2i)
1
3? 2i
13
解
（1）
所以
?
1
?3+ 2i? 13
?
=
?
3， Im?? ?= ? 2
1 ?
Re
?
,
13
?3+ 2i?
2
2
1
3+ 2i
= 1
1
3+ 2i
= ?? 3 ?
? +???
3 ?
13
(3+ 2i)，
，
13
?13? ? 13?? = 13
Arg??
1
? 3+ 2i ?
?? = arg??
1
? 3+ 2i ?
?? + 2kπ
2
= ?arctan + 2kπ ,k = 0,±1,±2,
3
1
3i
? i
3i(1+ i)
= ?i ? 1 (? 3+ 3i)= 3 ? 5
（2） ?
1? i = i(? i) ? (1? i)(1+ i)
i,
i
2
2
2
所以
?1 3i ?
3
,
Re? ?
?i 1? i??= 2
?1 3i ?
?= ? 5
Im? ?
?i 1? i?
2
2
2
?1 3i ?
? = + i 5， ?
3
1
3i
1?i
= ? ? +?? ? = 34，
? 3?
?
5?
? ?
? i 1? i ?
?1 3i ?
2
2
i
? 2?
?
2?
2
?1 3i ?? + 2kπ
Arg? ?
? = arg? ?
? i 1? i ?
? i 1? i ?
= ?arctan 5 + 2kπ,
k = 0,±1,±2,.
3
（3） (3+ 4i)(2 ? 5i) = (3+ 4i)(2 ? 5i)(? 2i) = (26 ? 7i)(? 2i)
2i
(2i)(? 2i)
4
= ?7 ? 26i
= ? 7 ?13i
2
2
所以
?(3+ 4i)(2 ? 5i)?
Re?
?= ? 7
，
?
2i
?
2
?(3+ 4i)(2 ? 5i)?
Im?
??= ?13，
?
2i
1
?(3+ 4i)(2 ? 5i)?? = ? 7
+ l3i
2
?
2i
?
?
(3+ 4i)(2 ? 5i) = 5 29
，
2i
2
(3+ 4i)(2 ? 5i)
2i
(3+ 4i)(2 ? 5i)?
26
? π + 2kπ
?
?
?
Arg
= arg
+ 2kπ = 2arctan 7
k = 0,±1,±2, .
?
?
?
?
?
?
?
2i
?
= arctan 267 +(2k ?1)π ,
（4）i
)4 ? 4(i )10i + i = (?1)4 ? 4(?1)10i + i
8 2 2
? 4i21 + i = (i
=1? 4i + i =1? 3i
所以
Re{i8 ? 4i21 + i}=1,Im{i8 ? 4i i}
21 + = ?3
?
?
?
?
i
1 3i，| i8 ? 4i21 + i |= 10
? 8 ? 4i21 + i? = +
Arg(i8 ? 4i21 + i)= arg(i8 ? 4i21 + i)+ 2kπ = arg(1? 3i)+ 2kπ
= ?arctan3+ 2kπ k = 0,±1,±2,.
x +1+ i(y ? 3) =1+ i成立，试求实数 x, y为何值。
2．如果等式
解：由于
5+ 3i
x +1+ i(y ? 3) = [x +1+ i(y ? 3)](5? 3i)
5+ 3i
(5+ 3i)(5? 3i)
= 5(x +1)+ 3(y ? 3)+ i[? 3(x +1)+ 5(y ? 3)]
34
= 1 [5x + 3y ? 4]+ i(? 3x + 5y ?18)=1+ i
34
比较等式两端的实、虚部，得
? 5x + 3y ? 4 = 34
? 5x + 3y = 38
? 3x + 5y ?18 = 34或 ?
?? 3x + 5y = 52
?
?
解得 x =1, y =11。
i
3．证明虚单位i有这样的性质：-i=i-1=。
4．证明
1
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