连续介质力学课件概要.ppt

各向同性 4阶各向同性张量 设： 如果 ，则对应于 i=j，k=l情况 如果 ，则对应于 情况 如果 ，则对应于 情况 各向同性 各向同性张量材料 若弹性固体是各向同性的，其本构方程为： 对于各向同性粘性流体 各向同性 应力和应变主轴的重合 应力和应变主轴的方向余弦下列方程确定： 对于弹性固体 对于粘性流体 场方程的推导 高斯定理 设Ω 为空间有界闭区域，其边界面S是分片光滑曲面，曲面正侧记作S+，若向量函数F(x,y,z)={P (x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)}的各分量在Ω及S+上有连续一阶偏导数，则有： 或： 其中 是S+在点(x,y,z)处的单位法向量 速度场与协调条件 速度场 考虑非刚体的连续介质 将 在P0点展成泰勒级数并取一阶 速度梯度张量 速度场与协调条件 速度场 变形速度张量 Euler应变率张量 伸长速率张量 旋率张量 速度场与协调条件 协调条件 在小变形情况下： 用位移表示的应变张量： 速度场与协调条件 协调条件 给定偏微分方程组时的可积性问题 需满足： 称为可积性条件或协调方程 平面应变状态的协调方程 可积性条件 速度场与协调条件 三维应变分量的协调条件 圣维南协调方程 本构方程 材料性质的描述 描述材料性质的方程称为该材料的本构方程。 本章主要讨论无粘性流体、牛顿粘性流体和理想弹性固体的本构关系。 其他的本构方程还有描述热传导特性、电阻特性、电磁特性、质量传递、晶格增长等。 应力—应变关系描述材料的力学性质，因此也是一种本构方程。 本构方程 无粘性流体 从力学上说，流体与固体的区别在于它不能在没有连续变形的情况下承受剪应力。 定义：流体是一种理想物质，当它做拟刚体运动（包括静止状态）时， 不能承受剪应力。 液体：在承受广泛范围的载荷时，密度变化可以忽略。 一般可分为不可压缩流体和可压缩流体两种概念 不可压缩流体在它所充满的空间具有均匀的密度，称为均质流体。 本构方程 无粘性流体 在通过一点的所有平面上，不仅没有剪应力，而且正应力全部相等。因此，无粘性流体的应力张量是各向同性的，它的形式为： P为压力 理想气体状态方程 对于实际气体或液体 对于不可压缩流体 本构方程 无粘性流体静力学方程 由平衡方程 如果令x3垂直向下为正，就有f1=f2=0, f3= g 如果流体作拟刚体运动（变形率=0），上式修改为包含加速度项 本构方程 牛顿流体 牛顿流体是一种粘性流体，其剪应力和变形成正比， 应力—应变关系为： 若流体是各向同性的 本构方程 胡克弹性固体 本构方程 胡克弹性固体 由于应变势能与加载过程无关： 沿整个加载变形过程积分dW，应变势能密度为： 本构方程 胡克弹性固体 对应变势能密度取偏导数： 本构方程 胡克弹性固体 共21个独立的弹性常数 本构方程 胡克弹性固体 1、具有一个对称平面 y z x o 共13个独立的弹性常数 本构方程 胡克弹性固体 2、正交各向异性 若还关于y轴对称 共9个独立的弹性常数 具有两个正交弹性对称面的材料一定对于和这两个平面垂直的的第三个平面具有对称性 本构方程 胡克弹性固体 3、横观各向同性 1 2 1’ 2’ 共5个独立的弹性常数 本构方程 胡克弹性固体 4、各向同性 共2个独立的弹性常数 本构方程 胡克弹性固体 （ 和 称为拉梅常数） （用应变表示应力的本构方程） 本构方程 胡克弹性固体 本构方程 胡克弹性固体 胡克定律的其他形式 K称为材料的体积模量 各向同性 各向同性概念 力学性质与方向无关的材料称为各向同性材料 各向同性张量：是一种在任意笛卡尔直角坐标系中其分量值不随坐标的正交转化而变化的张量。 材料是各向同性的，其本构在坐标的正交变换中保持不变 各向同性 零阶、1阶各向同性张量 所有标量都是各向同性的。但不存在一阶各向同性张量。 绕 轴旋转180度情况 同样过程，绕x2轴旋转1800，可以得到A1=0 各向同性 2阶各向同性张量 每一个2阶各向同性张量都可一化为 的形式 绕 轴旋转180度情况 所以，2阶各向同性张量必须是对角张量 各向同性 绕 轴无限小旋转情况 2阶各向同性张量 各向同性 3阶各向同性张量 绕 轴无限小旋转情况 各向同性 3阶各向同性张量 取i=j=1，则有： 取k=2，有： 取k=3，有： 各向同性 由于 为