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《线性代数》期末闭卷考试题
上午）
填空题（每小题2分，共10分）
1、6
2、A+E
3、6
4、0；－1
5、9
单选题（每小题2分，共20分）
DACCCDBCDC
计算题（每小题8分，共64分）
解：
所以，当时，向量组线性无关
当时，向量组线性相关，且
所以，R(A)＝2，极大线性无关组是，且
解：（1）因为，所以A的一个特征值
（2）因为A的一个特征值，且，所以的一个特征值为，即；
（3）因为A的一个特征值，则的一个特征值为，所以的一个特征值为。
解：法一，因为，令，得到A的特征值
，。
对于，所对应的特征向量为，，，
对于，所对应的特征向量为
所以，
则
法二：因为，所以
解：，
，且和线性无关。
又因为，所以有两个线性无关的基础解系，即和。
特殊解
所以，的通解为
解：因为
所以，
解：因为是A的一个特征向量，所以有，即
所以，由得到A的特征值有
当，只有1个基础解系，即所对应的特征向量并不是线性无关的，所以A不能对角化。
解：因为
所以，当时，方程组无解；当时，方程组有唯一解；当时，方程组有无穷多解，通解为
解：因为ｆ的系数矩阵为，由可得A的特征值有
。
当时，对应的特征向量有，对应的特征向量
是，将单位化，得到正交矩阵
于是原二次型ｆ通过正交变换X=QY化成标准型。
证命题（6分）
证明：令
所以，A可逆，故线性无关。
设为任一n维向量
因为A可逆，所以可逆，则有
故结论成立。
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