十一.十二章总复习.pptVIP

十一.无穷级数 十二.微分方程 特征方程为 二阶常系数齐次线性微分方程 特征方程为 特征方程的根 通解中的对应项 推广： 阶常系数齐次线性方程解法 二阶常系数非齐次线性微分方程 伯努利方程 一阶线性方程 例2 解 原式可化为 原式变为 对应齐方通解为 一阶线性非齐方程 伯努利方程 代入非齐方程得 原方程的通解为 利用常数变易法 原方程的通解为 例3 解 方程为全微分方程. (1) 利用原函数法求解: 故方程的通解为 (2) 利用分项组合法求解: 原方程重新组合为 故方程的通解为 (3) 利用曲线积分求解: 故方程的通解为 例4 解 代入方程，得 故方程的通解为 例5 解 特征方程 特征根 对应的齐次方程的通解为 设原方程的特解为 原方程的一个特解为 故原方程的通解为 由 解得 所以原方程满足初始条件的特解为 （0，1） （1，1） （1，2） * 常数项级数 函数项级数 一 般 项 级 数 正 项 级 数 幂级数 三角级数 收 敛 半 径 R 泰勒展开式 数或函数 函 数 数 任 意 项 级 数 傅氏展开式 傅氏级数 泰勒级数 满足狄 氏条件 在收敛 级数与数 条件下 相互转化 常数项级数审敛法 正 项 级 数 任意项级数 1. 2. 4.充要条件 5.比较法 6.比值法 7.根值法 4.绝对收敛 5.交错级数 (莱布尼茨定理) 3.按基本性质; 一般项级数 4.绝对收敛 (4) 常见函数展开式 其中 称为傅里叶级数. 收敛 =01 =0) ∴级数收敛。 =0 故原级数条件收敛。 故级数收敛。 （非不定式） 故级数收敛。 由必要条件，级数发散。 例16 解 即原级数非绝对收敛． 由莱布尼茨定理： 所以此交错级数收敛， 故原级数是条件收敛． 解 拓广的周期函数处处连续，它的傅氏级数展开式在 上收于 . 所给函数在 上满足狄利克雷充分条件. 所求函数的傅氏展开式为 例18 解 由上式得 基本概念 一阶方程 类 型 1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程 4.可化为齐次 方程 5.全微分方程 6.线性方程 7.伯努利方程 可降阶方程 线性方程 解的结构 定理1;定理2 定理3;定理4 欧拉方程 二阶常系数线性 方程解的结构 特征方程的根 及其对应项 f(x)的形式及其 特解形式 高阶方程 待定系数法 特征方程法 微分方程解题思路 一阶方程 高阶方程 分离变量法 全微分方程 常数变易法 特征方程法 待定系数法 非全微分方程 非变量可分离 幂级数解法 降阶 作变换 作变换 积分因子 通解为 （常数变易法） 伯努利(Bernoulli)方程 方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程. 一阶线性微分方程 常见的全微分表达式 可选用积分因子 * * *