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第六章 共形映照 本章先叙述解析函数导数的几何意义并且给出保角映射的概念，然后具体讨论分式线性函数和几个基本初等函数所构成的保角映射的特点和作用，最后介绍保角映射的几个一般定理。 §1 保角映射的概念 为了讨论解析函数导数的几何意义和保角映 射的概念，本节首先介绍有向曲线的切线方向和 两条相交曲线的夹角，并且知识假定所给平面曲 线是有向光滑曲线。 一、曲线的切线方向和两条曲线的夹角 　由于任意一段有向曲线 可用参数方程表示为 ，其反向曲线 可表示为 它们的方向由参数 增加的方向来给定的，因此我们可 将任何一条曲线 的参数方程简写为 对于　 上某一点 ,考察用增量比 所表示的复向量 其中 ，它的方向就是割线矢量 的方向。 当 时，其极限 所表示的复向量与曲线 相 切，它的方向是动点沿该有向曲线运动时在点 的运动 方向（对应于 从负增加到正）。 于是有 定义1 对于由式（1.1）给出的曲线 ，称复向量 为 在点 的切向量。由于 是光滑曲线，因此 显然 是正实轴方向矢量绕原点旋转到切矢量 方向的旋转角。 定义2 对于两条相交的有向曲线 和 ，可设它们的参 数方程分别为 ，其交点为 在点 处的切向量分别为 和 。 称切矢量 绕 旋转到切矢量 的旋转角为 到 在 的夹角，记为 。 二、解析函数导数的几何意义 　设函数 区域 内的点 处解析，并且 考虑 内过点 的一条简单光滑有向曲线 ，其参数方 程为 设在映射 之下，原象曲线 的象曲线为 ， 其参数方程表示为： 于是 下面分别讨论　　 和 的几何意义。 现记 由于 ，故 因此曲线 在点 的切线与实轴的夹角是 可见：曲线 在点 的切矢量可由原象曲线 在原象 点 的切矢量旋转角度 而得到。 易见：变换 在 处的旋转角与过点 的具体 曲线的选择无关。 设过点 的另外一条光滑曲线 的参数方程为： 并且 。 记 在变换 的象曲线为 ，它的参数方程为 并且 与 的夹角是： ； 而 与 的夹角是： 可见： 与 的夹角和 与 的夹角相等。 其实， 与 的夹角 和 与 的夹角不仅相等， 而且方向也保持不变。 这表明：对于相交于点 的任何两条有向曲线，其夹 角大小与方向经过 映射后都保持不变。这时， 称映射 在 点 具有保角性，也称它在该点是保 角的。 如果它在某个区域内处处具有保角性，则称它在该区 域是保角的或者具有保角性。 以上对于解析函数的导数的幅角做了几何的解释。 现 在再来说明它的模 的几何意义。 根据以上假设，有 这说明： 是象曲线 过点 的无穷小弧长与曲线 过点 的无穷小弧长之比。因此称 为变换 在 的伸缩率。 显然，伸缩率也是仅仅与点 相关，而与曲线 的 选取无关。 若某映射 在点 的伸缩率不依赖于过该点的 曲线的选取，则称该映射在该点具有伸缩率的不变性。 三、保角映射的概念和定理 下面介绍解析函数的一个重要概念——保角映射 定义3 凡在某区域内处处具有保角性和伸缩率不变的映 射都称为第一类保角映射，也简称为保角映射、保形映 射或共形映射。 复变函数中还存在另一类保角映射，它仅保持在映射 前后角度的绝对值不变，而使得角的方向相反，我们称 这种映射为第二类保角映射。今后如果无特殊声明，我 们所说的保角映射都是指的第一类保角映射。 从定