行列式按k行列展开.pptVIP

高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组 §2.5 行列式按k行（列）展开 第二章 行列式 利用行列式的依行（列）展开可以把n阶行列式化为n-1阶行列式来处理，这在简化计算以及证明中都有很好的应用。但有时我们希望根据行列式的构造把n阶行列式一下降为n-k阶行列式来处理，这是必须利用Laplace展开定理。为了说明这个方法，先把余子式和代数余子式的概念加以推广。 定义 1（k阶子式和它的余子式）： 在n阶行列式D中，任意取定k 行或k列（ ），设为第 行和第 列。位于这些行列式交叉位置上的元素构成的k阶子式记 为N，则在D中划去这k行k列后，余下的元素按照原来相对位置所构成的n-k阶子式 ，称为子式N的余子式。 定义 2（代数余子式）：N的余子式M附以符号 ，即 称为N的代数余子式。 注意： 1、 当k=1时，上面定义的余子式和代数余子式就是§2.5中关于一个元素的余子式和代数余子式。 2、 M是N的余子式，N便是M的余子式，M、N互为余子式。 例1 写出行列式 第三行所得的所有二阶子式及它们的余子式和代数余式。 二阶子式共有 中取定第一行和 个。 引理： n阶行列式D的任一个子式N与它的代数余子式 乘积中的每一项都是行列式D的展开式中的一项，而且符号也一致。 证明：首先考虑N位于行列式D的左上方（即第1，2，…， k行和第1，2，…，k列）的情况。这时 D中k阶子式N的余子式 位于右下角，其代数余子式为 N的每一项可写作： ，其中 是1，2，…， k的一个排列。所以这一项前面所带符号为： ， 中每一项可写为 其中 是k+1,k+2,…,n的一个排列。这一项在M中所带的符号是： （或 ）。 这两项的乘积是： 所带的符号是： 由于 都比k大，所以上述符号等于 。因此这个乘积 是行列式D中的一项而且符号相同。 现考虑N位于D的第 行，第 列。这里 为了利用前面的结论，我们先把第 行依次与 行对换，这样经过 次对换把第 行换到第1行，再把第 行依次与第 行对换而换到第2行，共经 次对换，如此进行下去，一共经过 次行对换把第 行换到第1，2，…，k行。 利用类似的列变换，可以把N的第 列换到第1，2， …，k列，这时一共经过 次列变换，把N换到左上角，把M换到右下角。 用 表示经上述行、列变换后得到的新行列式，由于一次行 （列）对换改变行列式的符号，故新、旧行列式之间有如下关系： 由此可知， 和D的展开式中出现的项是一样的，只不过每一 项都相差符号为 现在N位于 的左上角，它的余子式 位于 的右下角， 由第一步知 中的每一项都是 中的一项且符号相同， 故 中每一项都与D中的一项相等且符号一致。 定理 1 （Laplace定理）：设在行列式D中任意取定 行，由这k行元素所组成的一切k阶子式与它们 的代数余子式的乘积的和等于行列式D。 证明：设D中取定k行后所得的子式为 它的 代数余子式分别为 下证 —（1） 由引理知， 中的每一项都是D中一项而且符号相同，而且 和 无公共项。因此要证明（1）式成立，只要 证明等式两边的项数相等就可以了。由定义知D中共有 项， 为了计算（1）的右边的项数，先算出t共有多少个。由组合 公式知 因此取出的k阶子式共有 个，而 中共有 项， 中共有 项，故等式（1）的右边的项数共有 例 2 计算行列式 解：取定1、4两行，由Laplace定理得 由上例可知，对特殊类型的行列式，Laplace展开能使计算简化，另外，定理还能用于理论证明。 定理 2（行列式相乘规则）：两个n阶行列式 和 的乘积等于 行列式 ，其中 为 中第i行元素与