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几何与代数
函数与极限 四、平面与平面的位置关系 小结 * 3.3 平面及其方程 一、 点法式方程 二、 一般式方程 三、 截距式方程 四、 平面与平面的位置关系 一、 点法式方程 如果一非零向量垂直于一平面,这向量就叫做该平面的法向量. 法向量的特征: 垂直于平面内的任一向量. 已知 设平面上的任一点为 必有 一个平面可以有许多法向量. 求此平面的方程 平面的点法式方程 平面称为方程的图形. 平面上的点都满足上方程, 不在平面上的 点都不满足上方程, 上方程称为平面的方程, 解 取 所求平面方程为 化简得 三点式方程 设空间3个不共线的点 解2 所求平面方程为 由平面的点法式方程 平面的一般方程 法向量 任意一个形如上式 的x、y、z的三元一次 方程都是平面方程. 二、 一般式方程 平面一般方程的几种特殊情况: 平面通过坐标原点; 平面通过 轴; 平面平行于 轴; 平面平行于 坐标面; 类似地可讨论 情形. 类似地可讨论 情形. 取法向量 化简得 所求平面方程为 解1 化简得 所求平面方程为 解2 设所求平面为 再由平面与两已知平面垂直得: 解得: 所求平面方程为 解1 设所求平面的法向量为 化简得 已知平面的法向量为 设平面为 由平面过原点知 所求平面方程为 解2 由平面的一般方程为 将三点坐标代入得 平面方程为 截距式方程 三、 截距式方程 设所求平面为 由所求平面与已知平面平行得 解1 例 所围成的四面体体积为一个单位的平面方程. 求平行于平面 而与三个坐标面 代入体积式 所求平面方程为 所围成的四面体体积为一个单位的平面方程. 求平行于平面 而与三个坐标面 设所求平面为 令 解2 例 所围成的四面体体积为一个单位的平面方程. 求平行于平面 而与三个坐标面 得 得 得 所求平面方程为 设平面过点 及x轴,求其方程. 用平面的点法式方程. 由点法式方程得平面方程: 求法向量 解 法1 即 用平面的一般式方程及平面的特殊性. 设平面过点 及x轴, 求其方程. 即 法2 设平面方程是 即 从而平面方程是 求平面方程常用两种方法: 利用条件定出其中的待定的常数, 此方法也称待定常数法. 主要是利用条件用向量代数的方法找出平面的一个法向量. (1) 用平面的点法式方程. (2) 用平面的一般方程. 定义 (通常取锐角) 两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角. 按照两向量夹角余弦公式有 两平面夹角余弦公式 取锐角 例 解 两平面位置关系 例 研究以下各组里两平面的位置关系: 解 两平面相交,夹角 所以两平面平行但不重合 所以两平面垂直. 外一点, 点到平面的距离 并作向量 * *
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