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* 用代数方法解释几何问题 简介 常见曲面的常用(标准方程的)参数方程: 当a=b=c时为球面. 椭球面: 椭圆锥面: 当a=b时为圆锥面. 椭圆柱面: 当a=b时为圆柱面. 几何中二次曲面问题 正螺面: 单叶双曲面: 圆环面: 空间曲线? 绕 z 轴旋转所得曲面的参数方程为: 实际上, 对给定的t, 得曲线?上一点M1(?(t), ?(t), ?(t)),其绕 z 轴旋转得到一个圆, 该圆在平面z= ?(t)上.其半径为点M1到z轴的距离: 因此, 在平面 z = ?(t)上的圆的方程为: 再令 t 在[?, ?]内变化, 即为所求旋转曲面的参数方程. 例如, 与 z 轴异面直线的参数为: 令其绕 z 轴旋转所得的旋转曲面的参数方程为: t ?[?, ?] 消去参量 t 和?, 得曲面的直角坐标系下的方程: 此曲面为单叶双曲面. 这也是的直纹面性质. 如图: 用代数方法解释几何问题举例 思考题1解答 二次型的矩阵为: 求得特征多项式为: | A–?E | = –?(4–?)(9–?). 于是A的特征值为: ?1 = 9, ?2 = 4, ?3 = 0. 对应特征向量为 思考题1: 化为标准型, 并指出f (x, y, z)=36表示何种二次曲面. 求一正交变换, 将二次型 f(x, y, z)=5x2+5y2+3z2–2xy+6xz–6yx 正交变换为: 化二次型为 f = 9u2 +4v2. 可知 f (x, y, z) = 36 为椭圆柱面方程. 在o-xyz坐标系中的图形 在o-uvw坐标系中的图形 思考题2解答 二次型的矩阵为: A的特征值为: ?1 = 8, ?2 = 5, ?3 = 2. 对应特征向量为 思考题2: 化为标准型, 并指出f (x, y, z)=8表示何种二次曲面. 求一正交变换, 将二次型 f(x, y, z)=5x2+6y2+4z2+2xy+2xz 正交变换为: 化二次型为 f = 8u2 + 5v2 + 2w2. 可知 f (x, y, z) = 8 为椭球面方程. 在o-xyz坐标系中的图形 在o- uvw坐标系中的图形 思考题3解答 二次型的矩阵为: A的特征值为: ?1 = –2, ?2 = ?3 = 1. 对应特征向量为 思考题3: 化为标准型, 并指出f (x, y, z)=8表示何种二次曲面. 求一正交变换, 将二次型 f(x, y, z)= –2xy + 2xz + 2yz 正交变换为: 化二次型为 f = –2u2 + v2 + w2. 可知 f (x, y, z) = 4 为旋转单叶双曲面方程. *