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第一章 行列式和线性方程组的求解  行列式 众数纵横成方阵， 多少玄机藏其中。 行列算尽得一值， 却是智取胜强攻。 奇次对换变符号， 转置倍加果相同。 妙手巧化繁为简， 八仙过海显神通。 线性方程组实施三种变化：（1）互换两个方程位置（2）用不为零的数乘以某个方程（3）将一个方程的某个倍数加到 另一个方程 线性方程组 欲解线性方程组， 需知初等行变换。 矩阵化至最简形， 字里行间有答案。 西称高斯消元法， 东方古著见九章。 代数文章日月异， 真理妙谛永流传。 第一章 行列式和线性方程组的求解 §1.4 线性方程组的求解 a11x1+a12x2+…+a1nxn = b1 a21x1+a22x2+… a2nxn = b2 … … … … … … … an1x1+an2x2+…+annxn = bn 当D ? 0时有唯一解: 定理1.3. 线性方程组 (i = 1, …, n), xi = Di D a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … an1 an2 … ann , 其中D = a11 b1 … a1n a21 b2 … a2n … … … … an1 bn … ann , D2 = ? 第一章 行列式和线性方程组的求解 §1.4 线性方程组的求解 a11x1+a12x2+…+a1nxn = b1 a21x1+a22x2+… a2nxn = b2 … … … … … … … an1x1+an2x2+…+annxn = bn 当D ? 0时有唯一解: 定理1.3. 线性方程组 (i = 1, …, n), xi = Di D a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … an1 an2 … ann , 其中D = … a11 … a1,n?1 b1 a21 … a2,n?1 b2 … … … … an1 … an,n?1 bn . Dn = ? 第一章 行列式和线性方程组的求解 §1.4 线性方程组的求解 a11x1+a12x2+…+a1nxn = 0 a21x1+a22x2+… a2nxn = 0 … … … … … … … an1x1+an2x2+…+annxn = 0 a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … an1 an2 … ann = 0. D = 齐次线性方程组 推论. 若齐次线性方程组 零解 非 有非零解, 则 ? 第一章 行列式和线性方程组的求解 §1.4 线性方程组的求解 二. 高斯(Gauss)消元法 公元前1世纪,《九章算术》: 初等行变换 相当于高斯消元法 (高斯-若当方法) Gauss[德] (1777~1855) Jordan[法] (1838~1922) ? 第一章 行列式和线性方程组的求解 §1.4 线性方程组的求解 线性方程组的一般形式: a11x1+a12x2+…+a1nxn = b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn = b2 … … … … … … … as1x1+as2x2+…+asnxn = bs 相容, 不相容, 解集合, 同解. ? 第一章 行列式和线性方程组的求解 §1.4 线性方程组的求解 三. 矩阵及其初等行变换 J. J. Sylvester [英] (1814.9.3~1897.3.15) A. Cayley [英] (1821.8.16~1895.1.26) ? ?2x1?3x2+4x3 = 4 x1+2x2 ?x3 = ?3 2x1+2x2 ?6x3 = ?2 x1+2x2 ?x3 = ?3 ?2x1?3x2+4x3 = 4 x1 + x2?3x3 = ?1 x1+2x2 ?x3 = ?3 x2+2x3 = ?2 ?x2?2x3 = 2 ?2 ?(?1) x1+2x2 ?x3 = ?3 x2+2x3 = ? 2 0 = 0 ?1/2 ?1 轻装上阵 ?1/2 ?2 ?(?1) ?1 增广矩阵的 初等变换 阶梯形方程组 阶梯形矩阵 二. 高斯消元法 ?2 ?3 4 4 1 2 ?1 ?3 2 2 ?6 ?2