第五单元 代数系统的一般性质.pptVIP

第五章 代数系统 二元运算及其性质 代数系统及其子代数和积代数 代数系统的同态和同构 半群与群 环与域 格与布尔代数 5.1 二元运算及其性质 集合上的运算，其运算结果都是在原来的集合R中，具有这种特征的运算是封闭的，简称闭运算。 对于集合A，一个从An到B的映射，称为集合A上的一个n元运算。如果B?A,则称该n元运算是封闭的. 定义5.1 设S为集合,函数f:S×S→S称为S上的一个二元运算,简称为二元运算. f:N×N→N, f(x,y)＝x＋y 普通的减法不是自然数集合上的二元运算,因为两个自然数相减可能得负数,而负数不属于N.这时也称集合N对减法运算不封闭. 算 符 通常用?,*,?,…等符号表示二元运算， 称为算符. 设f:S×S→S是S上的二元运算,对任意的x,y∈S,如x与y的运算结果是z,即 f(x,y)＝z, 可利用算符?简记为 x?y=z N元运算 定义5.2 设S为集合,n为正整数,则函数 称为S上的一个n元运算,简称为n元运算. 例如,求一个数的相反数是实数集R上的一元运算,求一个数的倒数是非零实数集R*上的一元运算,在幂集合P(S)上,如果规定全集为S,那么求集合的绝对补运算可以看作是P(S)上的一元运算.在空间直角坐标系中求某一点(x,y,z)的坐标在x轴上的投影可以看作是实数集R上的三元运算f(x,y,z)＝x,因为参加运算的是有序的3个实数,而结果也是实数. 例5.2 设S＝{1,2},给出P(S)上的运算~和?的运算表,其中全集为S. 解 所求的运算表如表5.3、表5.4所示. 例5.3 设S={1,2,3,4},定义S上二元运算如下： x?y =(xy)mod 5, ?x,y?S 二元运算的性质 定义5.3 设?为S上的二元运算,如果对任意的x,y∈S都有 x?y＝y?x 则称运算?在S上是可交换的,或者说.在S上适合交换律. 例如,实数集上的加法和乘法都是可交换的,但减法不可交换, 在幂集P(S)上的∪,∩,?都是可交换的,但相对补不是可交换的. 定义5,4 设?为S上的二元运算,如果对任意的x,y,z∈S都有 (x?y)?z＝x?(y?z), 则称运算?在S上是可结合的,或者说.在S上适合结合律. 普通的加法和乘法在N,Z,Q,R上都是可结合的,∪,∩, ?在幂集P(S)上也是可结合的.矩阵加法和乘法在Mn(R)上是可结合的,其中矩阵加法还是可交换的,但矩阵乘法不是可交换的. 左幺元,右幺元,幺元 定义5.8 设?为S上的二元运算,如果存在元素el(或er)∈S使得对任何x∈S, 都有 el ? x＝x(或x?er =x) 则称el(或er)是S中关于运算?的一个左幺元(或右幺元).若e∈S关于°既是左幺元, 又是右幺元,则称e为S上关于运算?的幺元. 谁是幺元? 自然数集合上的加法运算的幺元是谁? 自然数集合上的乘法运算的幺元是谁? 在Mn(R)上,矩阵加法的幺元是谁? 在Mn(R)上,矩阵乘法的幺元是谁? 在幂集P(S)上,∪运算的幺元是谁? 在幂集P(S)上,∩运算的幺元是谁? R*是非零实数集,任意的a,b?R*有a?b=a,运算?的幺元是谁? 左幺元,右幺元,幺元 定理5.1 设?为S上的二元运算, el,er分别为运算?的左幺元和右幺元,则有 el＝er＝e. 且e为S上关于运算?的唯一的幺元. 证明 el＝el ? er, el ? er＝er 所以, el=er 把el＝er记作e.假设S中存在幺元e’,则有 e’=e ? e’＝e 所以,e是S中关于运算?的唯一的幺元, 左零元,右零元,零元 定义5.9 设?为S上的二元运算,若存在元素?l (或?r)∈S使得对任意的x∈S有 ?l ?x＝ ?l (或x ? ?r＝ ?r) 则称?l (或?r )是S上关于运算?的左零元(或右零元)若 ?∈S关于运算?既是左零元,又是右零元,则称? 为S上关于运算?的零元. 自然数集N上普通乘法的零元是谁?普通加法零元是谁? Mn(R)上矩阵乘法的零元?矩阵加法零元? 在幂集P(S)上∪运算的零元是?∩运算的零元是? R*是