第五单元 大数定律和中心极限定理.pptVIP

第五章 大数定律 中心极限定理 二、几个常用的大数定律 一、依分布收敛 二、几个常用的中心极限定理 * * 和 中心极限定理 大数定律 定义 设{Xn}为随机变量序列，a是一个常数，若对于任意?0, 有 则称{Xn}依概率收敛于a。可记为 §1 大数定律 一、依概率收敛 意思是: 当 a 时, Xn落在 内的概率越来越大。即 切比雪夫大数定律 设{Xk,k=1,2,...}为独立的随机变量序列，且有相同的数学期望?，及方差?20，则 即对任何?0, 证明: 由切比雪夫不等式 这里 故 伯努里大数定律 设进行n次独立重复试验，每次试验中事件A发生的概率为p，记fn=nA/n为n次试验中事件A发生的频率，则 证明: 设 第i次试验事件A发生 第i次试验事件A不发生 则 由切比雪夫大数定理： 辛钦大数定律 若{Xk,k=1,2,...}为独立同分布随机变量序列, EXk=? ?, k=1, 2, … 则 当随机变量序列X1, X2, ..., Xn,…独立同分布时, 有如下更实用的结论： 例 在掷骰子过程中，以Xn记第n次掷出的点数，在依概率收敛意义下，求 的极限。 定义 设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，其对应的分布函数分别为Fn(x), F(x)。若在F(x)的连续点，有 则称{Xn}依分布收敛于X。记为 §2 中心极限定理 若随机变量序列{Xn}之和 的标准化变量 则称随机变量序列{Xn}满足中心极限定理。 1、独立同分布的中心极限定理 设{Xn}为独立同分布随机变量序列，若EXk=??，DXk= ?2 ?，k=1, 2, …, 则{Xn}满足中心极限定理。此时有 因此，当n充分大时 其中Fn(x)为 的分布函数。 例1 将一颗骰子连掷100次，试估算点数之和大于500的概率。 解: 设Xk为第 k 次掷出的点数, k=1,2,…,100, 则 X1,…,X100独立同分布。并且 由独立同分布的中心极限定理知： 2、德莫佛-拉普拉斯中心极限定理 设随机变量?n (n=1, 2, ...) 服从参数为n, p (0p1) 的二项分布，则 证明: 设 第i次试验事件A发生 第i次试验事件A不发生 则 由独立同分布的中心极限定理,结论即可得证。 即 * * *