第五单元 大数定律与中心极限定理.pptVIP

第五章、大数定律与中心极限定理 问题的给出 在第一章中，我们在讨论频率与概率的关系时已经知道，概率总是在对大量随机现象的考察中才能显现出来。为了研究大量的随机现象，必须采用极限的形式。这就自然地引导人们对极限定理进行研究，极限定理的内容很广泛，其中最重要的有大数定律与中心极限定理。 这类事实可以如下直观地解释：要从随机现象中寻求必然的法则，应该研究大量的随机现象。因为在大量的随机现象里：各自的偶然性在一定程度上相互抵消，相互补偿。因而可能显示出必然的法则来。 依概率收敛 定理二（贝努里大数定理） 设 nA 为 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数，p 是事件 A 在每次实验中发生的概率， 则对任意正数ε，有 定理三 （辛钦大数定理） 设随机变量X1，X2,…Xn… 相互独立,服从同一分布，且具有数学期望E(Xk)=μk,(k=1,2,…),则对任意正数ε，有 §5.2 中心极限定理 介绍三个常用的中心极限定理 定理六（棣莫弗-拉普拉斯定理） 设随机变量ηn～b(n,p), n=1,2,…,则对任意的x有 说明： 切比雪夫不等式在近似计算中，除了不够精确之外，还有不便于应用的因素存在。比如,区间必须是以E(X)为中心的有限区间等，因此与中心极限定理相比，切比雪夫不等式既不精确也不便使用。所以计算时只要条件允许，首选中心极限定理。 * 问题的给出 大数定律 中心极限定理 返回目录 历史的经验告诉我们，掷一枚质地均匀的硬币。虽然不能准确地预言掷出的结果，但如果独立地连掷n次，当n充分大时，出现正面的概率与1/2很接近，此处的nA表示在此n次中出现正面的总次数。 这就向人们提出一个理论问题，在一般的贝努里试验中,每个试验中事件A出现的概率为 p， 或考虑独立随机变量序列{ Xk }。其中， 求证： 即 能否在数学上证明： 则称序列{ Yn }依概率收敛于a。记作 g(x，y)在区间(a，b)连续，则 是一个随机变量序列， 若对任意ε0 ，有 依概率收敛的序列有以下的性质：若 用数学语言来讲，就是要证明:对于任意的 等价于 关于随机变量序列的收敛的提法: 当n足够大时， 与p有较大偏差的概率很小。 即有 依概率收敛于p 介绍三个定理： 设随机变量 X1，X2,…Xn… 相互独立，具有相同的期望与方差 。令 。则 定理一表明，当n很大时，随机变量 X1，X2,…Xn….的算术平均接近于数学期望 E(Xk)=μ 。通俗地说，在定理的条件下，n个随机变量的算术平均，当n无限增大时将几乎变成一个常数。(证明) §5.1 大数定律 定理一 （契比雪夫定理的特殊情况） 即 定理二表明：事件发生的频率 依概率收敛于事件的概率p。这个定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性。在实际应用中，当实验次数很大时，可用频率来代替事件的概率。 即 返回 定理三表明： 在定理的条件下，当n很大时,平均值 接近于μ的概率很大。 设随机变量X1，X2,…Xn… 相互独立,服从同一分布，具有数学期望和方差： (k=1,2,…),则随机变量之和 的标准化变量： 的分布函数Fn(x)对于任意x满足 定理四（独立同分布的中心极限定理） 因此可以借助于标准正态分布对 作理论分析或作实际计算。 定理四的另一中表达形式，当n充分大时， 定理四表明： 在定理的条件下，当n充分大时， 则对任意的 定理五表明：在定理的条件下，不管 服从什么分布，只要n充分大时， 近似地服从正态分布 ，这就是为什么正态分布是概率论的重要的常见分布的原因。 定理五（李雅普诺夫定理） 设随机变量X1，X2,…Xn… 相互独立，期望 令 ， 如果存在δ0, 使得当 时， x成立 定理六表明:二项分布的极限分布是正态分布，即n充分大时，近似地服从N(np，npq)