第七单元空间问题的基本理论(纯黑).pptVIP

* * 第七章 空间问题的基本理论 Architecture Engineering Department of Xiangtan University §7.1 平衡微分方程 (differential equations of equilibrium) 基本思路 过弹体内任意一点P截取一微小的正平行六面体(单元体)，并把内应力连同体积力(外力)一起作用在该单元体上，考虑其平衡，列出其力的平衡条件，这样就可导出内应力分量与体积力分量之间的微分关系式——平衡微分方程。 方程推导 图示单元体受力情况属于空间一般力系，由ΣX=0， ΣY=0， ΣZ=0， Σmx=0， Σmy=0， Σmz=0，可得 Nevier方程 (7-1) 以及 §7.2 物体内任一点的应力状态 当平面ABC趋近P点时，平面ABC上的应力就成为该斜面上的应力。令n的方向余弦为 得斜面上的应力为 (7-2) 若将斜面ABC上的应力按沿法线和切线方向分解，则成为 (7-3) 以上各式用矩阵可以写成 或者 (7-2a) (7-3a) 其中 称为一点处的应力张量(stress tensor)。它是对称于主对角线的，即为对称张量。应力张量实质上是该点三个互相垂直微面上应力分量关系总的特征。应力张量是反映该点应力状态的特征力学量。 当上述斜面ABC是弹性体的边界面时， (7-2)则成为弹性体的边界条件 (7-4) §7.3 主应力、主方向的确定 应力张量 也可以把它看成应力矩阵。而对于矩阵，按线性代数理论，它存在特征矩阵和特征方程，特征矩阵为 (7-6) 特征方程为 (7-5) 其中I1、I2、I3分别称为应力张量的第一、二、三不变量，是与应力张量对应的行列式的一、二、三阶主子式之和，即为 例题 已知物体某点的应力分量为?x=50a，?y=80a， ?z =-70a，?xy=-20a，?yz=60a，?zx =0。试计算主应力值，并求出主方向。 解：首先求出应力不变量为 得特征值为 相应的方向余弦为 §7.4 几何方程 物理方程 Geometrical equations Physical equations (7-7) Cauchy方程 记为张量形式则有 (7-7) 其中脚标中的逗号表示对坐标的微分。 体积应变(volume strain) 设有微小正平行六面体，起棱边长为?x、?y、?z，变形前体积为?x?y?z，变形后体积成为 其单位体积的体积改变也就是所谓体积应变为 忽略二阶以上微量，则有 此即为体积应变。 (7-8) Lamè形式 广义虎克定律 (7-8) 其中 写成张量形式则有 Kronecker-d Young-Poisson形式 (7-9) 其中 写成张量形式则有 Lamè弹性常数 弹性空间问题位移解法 将Cauchy方程代入物理方程，得到用位移分量表示的应力分量，而后用此应力分量代入Navier方程即可。