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第一单元 函数极限
* 函数极限 关于函数的极限，根据自变量的变化过程，我们主要研究以下两种情况： 一、当自变量x的绝对值无限增大时，f(x)的变化趋势， 二、当自变量x无限地接近于x0时，f(x)的变化趋势 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 播放 通过上面演示实验的观察: 问题: 如何用精确的数学数学语言刻划函数“无限接近”. 2.另两种情形: 3.几何解释: y x o (0,1) y x o (0,1) y x o (0,1) 二、自变量趋向有限值时函数的极限 先看一个例子 这个函数虽在x=1处无定义，但从它的图形上可见，当点从1的左侧或右侧无限地接近于1时， f(x)的值无限地接近于4，我们称常数4为f(x)当x→1 时f(x)的极限。 1 x y o 4 3.单侧极限: 例如, 左极限 右极限 例6 证 左右极限存在但不相等, y x o 1 y=x+2 y=3x 三、函数极限的性质 1.局部有界性 2.唯一性 3.不等式性质（局部） 定理(保序性) 推论 定理(保号性) 推论 4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系) 定义 定理 证 例如, 函数极限与数列极限的关系 函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等. Heine定理，又称归并原则 即 证明 设 即 恒有 再由 则对上述 有 又 故 设对 都有 要证 用反证法 若 即 但 现取 有 满足 即 但 此与 矛盾 例7 证 二者不相等, 四、小结 函数极限的统一定义 (见下表) 过 程 时 刻 从此时刻以后 过 程 时 刻 从此时刻以后 思考题 思考题解答 左极限存在, 右极限存在, 不存在. *
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