数字信号处理（曹成茂）第1章-1 离散时间信号与系统.pptVIP

3. 部分分式展开法 对于大多数单阶极点的序列，常常用这种部分分式展开法求逆Z变换。 设x(n)的Z变换X(z)是有理函数，分母多项式是N阶，分子多项式是M阶，将X(z)展成一些简单的常用的部分分式之和，通过查表(参考表2.5.1)求得各部分的逆变换，再相加即得到原序列x(n)。设X(z)只有N个一阶极点，可展成正式 观察上式，X(z)/z在z=0的极点留数就是系数A0，在z=zm的极点留数就是系数Am。 (2.5.11) (2.5.12) (2.5.13) (2.5.14) 求出Am系数(m=0,1,2,…N)后，很容易示求得x(n)序列。 例1.2.8已知 ，求逆Z变换。 解 因为收敛域为2|z|3，第一部分极点是z=2，因此收敛域为|z|2。第二部分极点z=-3，收敛域应取|z|3。查表2.5.1得到 x(n)=anu(n)+(-3)nu(-n-1) 一些常见的序列的Z变换可参考表2.5.1。 表1.2常见序列Z变换 直接计算围线积分比较麻烦，一般不采用此法求z反变换，求解逆z变换的常用方法有： l? 幂级数 l? 留数定律法 l? 部分分式法 1.2.4 z变换的性质 z变换的许多重要性质在数字信号处理中常常要用到。见表1.2 1.2.5 z变换与DTFT的关系 1.2.6 Parseval定理——z变换的重要性质之一 若有两序列 x（n），y（n），且 X（z）=Z[ x（n）] Rx-〈|z|〈 Rx+ Y（z）=Z[ y（n）] Ry-〈|z|〈 Ry+ 它们的收敛域满足条件： Rx- Ry-〈1， Rx+Ry+〉1 则 其中，C 所在收敛域为 X(v) 和 Y*(1/V*) 两者收敛区域的重迭部分 Max[ Rx- , 1/Ry+] |v| min[ Rx+ , 1/Ry -] 证：令 w（n）=x（n）y*（n） 利用复共轭和复卷积特性(p18表1.2，第7和第10)： 则 由于假设条件中已规定收敛域满足： Rx-Ry-〈1〈Rx+Ry+ 因此， |z|=1 在收敛域内，即w（z）在单位圆上收敛，w（z）|z=1存在， 又因 因此 证毕 如果 X（v）、Y（v）在单位圆上收敛，则选取单位圆为围线积分途径，这时 , Parseval 定理的一个重要应用是计算序列能量： 一个序列值的平方总和 称为“序列能量” 即时域中对序列求能量与频域中求能量是一致的。 由x(z)表达式表明， 极点是z=1， 单位圆上的Z变换不存在， 或者说收敛域不包含单位圆。 因此其傅里叶变换不存在。 该序列的FT不存在， 但如果引进奇异函数δ(ω)， 其傅里叶变换可以表示出来(见表2.3.2)。 该例同时说明一个序列的傅里叶变换不存在， 在一定收敛域内Z变换是存在的。 序列的特性决定其Z变换收敛域， 了解序列特性与收敛的一些一般关系， 对使用Z变换是很有帮助的。 1. 有限长序列 如序列x(n)满足下式： x(n) n1≤n≤n2 x(n)= 0 其它 即序列x(n)从n1到n2序列值不全为零， 此范围之外序列值为零， 这样的序列称