选修4-5不等式选讲介绍（李龙才）.ppt

　　　根据课程标准，本专题介绍一些重要的不等式和它们的证明、数学归纳法和它的简单应用。 本专题的内容是在初中阶段掌握了不等式的基本概念，学会了一元一次不等式、一元一次不等式组的解法，多数学生在学习高中必修课五个模块的基础上展开的．作为一个选修专题，教科书在内容的呈现上保持了相对的完整性． 本专题应该强调不等式及其证明的几何意义与背景，以加深学生对这些不等式的数学本质的理解，提高学生的逻辑思维能力和分析解决问题的能力 多从数的运算的角度引出问题 降低难度 限制范围 一、教学目标根据课程标准，通过本专题的教学，应该达到以下的教学目标： 1．回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式。 2．理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： （1）∣a＋b∣≤∣a∣＋∣b∣； （2）∣a－b∣≤∣a－c∣＋∣c－b∣； （3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：∣ax＋b∣≤c；∣ax＋b∣≥c； ∣x－c∣＋∣x－b∣≥a。 3．认识柯西不等式的几种不同形式。理解它们的几何意义。 （1）证明柯西不等式的向量形式 |α||β|≥|α·β|。 （2）证明：（a2+b2）(c2+d2)≥(ac+bd)2。 （3）证明：二维形式的三角形不等式。 4．用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况. 5．用向量递归方法讨论排序不等式。 6．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题。 7．会用数学归纳法证明贝努利不等式： (1＋x)n ＞1＋nx（x＞-1,n为正整数）。 了解当n为实数时贝努利不等式也成立。 8．会用上述不等式证明一些简单问题。能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值。 9．通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。 二、内容安排 本专题内容分成四讲，结构如下图所示： 本专题教学约需18课时，具体分配如下 第一讲　不等式和绝对值不等式 5课时 一、不等式(约３课时)二、绝对值不等式(约２课时) 第二讲　证明不等式的基本方法 4 一、比较法(约1课时)二、综合法与分析法(约2课时)三、反证法与放缩法(约1课时) 第三讲　柯西不等式与排序不等式 4 一、二维形式的柯西不等式(约1课时)二、一般形式的柯西不等式(约1课时)三、排序不等式(约2课时) 第四讲　数学归纳法证明不等式 4 一、数学归纳法(约2课时)二、用数学归纳法证明不等式(约2课时) 学习总结报告(约1课时) 第一讲是“不等式和绝对值不等式”，它是本专题的最基本内容，也是其余三讲的基础 本讲的第一部分类比等式的基本性质，先讨论不等式的基本性质，这是关于不等式在运算方面的一些最基本法则．接着讨论基本不等式，介绍了基本不等式的一个几何解释：“直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高”，并把基本不等式推广到三个正数的算术—几何平均不等式．对于一般形式的均值不等式，则只作简单介绍，不给出证明．在此基础上，介绍了它们在解决实际问题中的一些应用，如简单的极值问题等。 案例： 强调如何提出不等式的基本性质 P2-3 数轴、与0比较（标杆） 从数的运算角度 几何角度 “不等式性质”教学中的提问 等式有“等式两边同加（减）一个数，等式仍然成立”“等式两边同乘（除）一个数，等式仍然成立”等基本性质，类似的，不等式有哪些基本性质呢？ 类比不等式基本性质的得出过程，你认为可以怎样提出关于绝对值不等式性质的猜想？ 第二部分讨论了有关绝对值不等式的性质及绝对值不等式的解法．绝对值是与实数有关的一个基本而重要的概念，讨论关于绝对值的不等式具有重要的意义． 绝对值三角不等式是一个基本的结论，教科书首先引导学生借助于实数在数轴上的表示和绝对值的几何意义，探究归纳出绝对值三角不等式，接着联系向量形式的三角不等式，得到绝对值三角不等式的几何解释，最后用代数方法给出证明．这样，数形结合，引导学生多角度认识这个不等式，逐步深化对它的理解．利用绝对值三角不等式可以解决一种特殊形式的函数的极值问题，教科书安排了一个这样的实际问题。 对于解含有绝对值的不等式，教科书只讨论了两种特殊类型不等式的解法，而不是系统地对这个问题进行研究。学生通过这两类含有绝对值的不等式能够基本学到解含有绝对值的不等式的一般思想和方法。 案例：P16 ∣ax＋b∣≤c；∣ax＋b∣≥c； ∣x－c∣＋∣x－b∣≥a 第二讲是“证明不等式的基本方法”．对于不等式的深入讨论必须首先掌握一些基本的方法，所以本讲内容也是本专题的一个基础内容。本讲通过一些比较简单的