专题10数列求和及其应用-高考数学（文）备考学易黄金易错点Word版含解析.docVIP

专题10 数列求和及其应用 2017年高考数学（文）备考学易黄金易错点 1．已知数列{an}的通项公式为an＝n＋22nn?n＋1?，其前n项和为Sn，若存在M∈Z，满足对任意的n∈N*，都有SnM恒成立，则M的最小值为________． 答案　1 解析　因为an＝n＋22nn?n＋1?＝2?n＋1?－n2nn?n＋1?＝12n－1n－12n?n＋1?， 所以Sn＝(120×1－121×2)＋(121×2－122×3)＋…＋12n－1n－12n?n＋1?] ＝1－12n?n＋1?， 由于1－12n?n＋1?1，所以M的最小值为1. 2．设向量a＝(1,2)，b＝(1n2＋n，an) (n∈N*)，若a∥b，设数列{an}的前n项和为Sn，则Sn的最小值为________． 答案　1 3．已知{an}是一个公差d大于0的等差数列，且满足a3a5＝45，a2＋a6＝14. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足：b12＋b222＋…＋bn2n＝an＋n2，求数列{bn}的前n项和Sn. 解　(1)∵a3＋a5＝a2＋a6＝14，a3a5＝45， ∴a3＝5，a5＝9或a3＝9，a5＝5， ∵d0，∴a3＝5，a5＝9， ∴a3＝a1＋2d＝5，a5＝a1＋4d＝9)?a1＝1，d＝2， ∴an＝2n－1. (2)由b12＋b222＋…＋bn2n＝an＋n2， 得b12＋b222＋…＋bn2n＝2n－1＋n2， b12＋b222＋…＋bn－12n－1＝2(n－1)－1＋(n－1)2 (n≥2)， 两式相减得bn2n＝2n＋1， ∴bn＝2n(2n＋1)(n≥2)， 又b12＝a1＋1，∴b1＝4， ∴bn＝2n?2n＋1?，n≥2，4，n＝1.) 记Tn＝b2＋b3＋…＋bn， 则Tn＝22×5＋23×7＋…＋2n(2n＋1)， 2Tn＝23×5＋24×7＋…＋2n＋1(2n＋1)， 两式相减得－Tn＝4＋2n＋1(1－2n)， 则Tn＝2n＋1(2n－1)－4， ∴Sn＝2n＋1(2n－1)． 4．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝a(Sn－an＋1)(a为常数，且a0)，且4a3是a1与2a2的等差中项． (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝2n＋1an，求数列{bn}的前n项和Tn. 解　(1)当n＝1时，S1＝a(S1－a1＋1)，所以a1＝a， 当n≥2时，Sn＝a(Sn－an＋1)，① Sn－1＝a(Sn－1－an－1＋1)，② 由①－②，得an＝a·an－1，即anan－1＝a， 故{an}是首项a1＝a，公比为a的等比数列， 所以an＝a·an－1＝an. 故a2＝a2，a3＝a3. 由4a3是a1与2a2的等差中项，可得8a3＝a1＋2a2， 即8a3＝a＋2a2， 因为a≠0，整理得8a2－2a－1＝0， 即(2a－1)(4a＋1)＝0， 解得a＝12或a＝－14(舍去)， 故an＝(12)n＝12n. 5．Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记bn＝lg an]，其中x]表示不超过x的最大整数，如0.9]＝0，lg 99]＝1. (1)求b1，b11，b101； (2)求数列{bn}的前1000项和． 解　(1)设{an}的公差为d，据已知有7＋21d＝28， 解得d＝1.所以{an}的通项公式为an＝n. b1＝lg 1]＝0，b11＝lg 11]＝1，b101＝lg 101]＝2. (2)因为bn＝0，1≤n10，1，10≤n100，2，100≤n1000，3，n＝1000， 所以数列{bn}的前1000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1893. 6．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)令cn＝?an＋1?n＋1?bn＋2?n，求数列{cn}的前n项和Tn. 解　(1)由题意知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5， 当n＝1时，a1＝S1＝11，所以an＝6n＋5. 设数列{bn}的公差为d.由a1＝b1＋b2，a2＝b2＋b3，) 即11＝2b1＋d，17＝2b1＋3d，)可解得b1＝4，d＝3，所以bn＝3n＋1. (2)由(1)知，cn＝?6n＋6?n＋1?3n＋3?n＝3(n＋1)·2n＋1. 又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，得Tn＝3×2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]， 2Tn＝3×2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]． 两式作差，得－Tn＝3×2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2] ＝3×4＋\f(4?1－2n?1－2)－?n＋1?×2n＋2) ＝－3n·2n＋2，所以Tn＝3n·2n＋2.