《创新设计》二轮专题复习浙江专用数学科材料专题三数列第1讲等差数列、等比数列的基本问题.docVIP

第1讲　等差数列、等比数列的基本问题 高考定位　1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现；2.数列的通项也是高考热点，常在解答题中的第(1)问出现，难度中档以下. 真 题 感 悟 (2016·浙江卷)设数列{an}的前n项和为Sn，已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*. (1)求通项公式an； (2)求数列{|an－n－2|}的前n项和． 解　(1)由题意得a1＋a2＝4，a2＝2a1＋1，)则a1＝1，a2＝3.)又当n≥2时， 由an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，得an＋1＝3an. 所以，数列{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N*. (2)设bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*，b1＝2，b2＝1， 当n≥3时，由于3n－1＞n＋2，故bn＝3n－1－n－2，n≥3. 设数列{bn}的前n项和为Tn，则T1＝2，T2＝3， 当n≥3时，Tn＝3＋9（1－3n－2）1－3－（n＋7）（n－2）2＝3n－n2－5n＋112， 所以Tn＝2，　n＝1，3n－n2－5n＋112)，n≥2，n∈N*. 考 点 整 合 1.等差数列 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d， (2)求和公式：Sn＝n（a1＋an）2＝na1＋n（n－1）2d， (3)性质：①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq； ②an＝am＋(n－m)d； ③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，成等差数列. 2.等比数列 (1)通项公式：an＝a1qn－1(q≠0)； (2)求和公式：q＝1，Sn＝na1；q≠1，Sn＝a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q； (3)性质：①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq； ②an＝am·qn－m； ③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，(Sm≠0)成等比数列. 3.求通项公式的常见类型 (1)观察法：利用递推关系写出前几项，根据前几项的特点观察、归纳、猜想出an的表达式，然后用数学归纳法证明. (2)利用前n 项和与通项的关系an＝S1　　　　（n＝1），Sn－Sn－1 （n≥2）.) (3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式. (4)累加法：在已知数列{an}中，满足an＋1＝an＋f(n)，把原递推公式转化为an＋1－an＝f(n)，再利用累加法(逐差相加法)求解. (5)叠乘法：在已知数列{an}中，满足an＋1＝f(n)an，把原递推公式转化为an＋1an＝f(n)，再利用叠乘法(逐商相乘法)求解. (6)构造等比数列法：在已知数列{an}中，满足an＋1＝pan＋q(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)先用待定系数法把原递推公式转化为an＋1－t＝p(an－t)，其中t＝q1－p，再利用换元法转化为等比数列求解. 热点一　等差、等比数列的判定与证明 【例1】 (2016·开封二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝14，且Sn＝Sn－1＋an－1＋12(n∈N*，且n≥2)，数列{bn}满足：b1＝－1194，且3bn－bn－1＝n(n≥2，且n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； (2)求证：数列{bn－an}为等比数列. (1)解　由Sn＝Sn－1＋an－1＋12，得Sn－Sn－1＝an－1＋12， 即an－an－1＝12(n∈N*，n≥2)， 则数列{an}是以12为公差的等差数列，又a1＝14， ∴an＝a1＋(n－1)d＝12n－14. (2)证明　∵3bn－bn－1＝n(n≥2)， ∴bn＝13bn－1＋13n(n≥2)， ∴bn－an＝13bn－1＋13n－12n＋14 ＝13bn－1－16n＋14＝13\a\vs4\al\co1(bn－1－\f(134)(n≥2). bn－1－an－1 ＝bn－1－12(n－1)＋14＝bn－1－12n＋34(n≥2)， ∴bn－an＝13(bn－1－an－1)(n≥2)， ∵b1－a1＝－30≠0，∴bn－anbn－1－an－1＝13(n≥2). ∴数列{bn－an}是以－30为首项，13为公比的等比数列. 探究提高　判断和证明数列是等差(比)数列的两种方法 (1)定义法：对于n≥1的任意自然数，验证an＋1－an\a\vs4\al\co1(或\f(an＋1an))为同一常数. (2)中项公式法：①若2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)，则{an}为等差数列；②若a2n＝an－1·an＋1(n∈N*，n≥2)，则{an}为等比数列. 【训练1】 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数. (1)证明：an＋2－an＝λ； (2)是否存在λ