2017届高考数学一轮复习第十七章坐标系与参数方程17.1坐标系与极坐标方程对点训练理.docVIP

2017高考数学一轮复习 第十七章 坐标系与参数方程 17.1 坐标系与极坐标方程对点训练 理 1．若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为(　　) A．ρ＝1cosθ＋sinθ，0≤θ≤π2 B．ρ＝1cosθ＋sinθ，0≤θ≤π4 C．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤π2 D．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤π4 答案　A 解析　由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，y＝1－x可得ρsinθ＝1－ρcosθ，即ρ＝1cosθ＋sinθ， 再结合线段y＝1－x(0≤x≤1)在极坐标系中的情形，可知θ∈0，\f(π2)). 因此线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为ρ＝1cosθ＋sinθ，0≤θ≤π2. 2．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是x＝t＋1，y＝t－3，)(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为(　　) A.14 B．214 C.2 D．22 答案　D 解析　由x＝t＋1，y＝t－3，)消去t得x－y－4＝0， C：ρ＝4cosθ?ρ2＝4ρcosθ，∴C：x2＋y2＝4x， 即(x－2)2＋y2＝4， ∴C(2,0)，r＝2. ∴点C到直线l的距离d＝|2－0－4|\r(2)＝2， ∴所求弦长＝2r2－d2＝22.故选D. 3.在极坐标系中，点\a\vs4\al\co1(2，\f(π3))到直线ρ(cosθ＋3sinθ)＝6的距离为________． 答案　1 解析　点\a\vs4\al\co1(2，\f(π3))的直角坐标为(1，3)，直线ρ(cosθ＋3sinθ)＝6的直角坐标方程为x＋3y－6＝0，所以点(1，3)到直线的距离d＝3)×\r(3)－6|\r(1＋3)＝1. 4．在极坐标系中，圆ρ＝8sinθ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R)距离的最大值是________． 答案　6 解析　圆ρ＝8sinθ即ρ2＝8ρsinθ，化为直角坐标方程为x2＋(y－4)2＝16，直线θ＝π3，则tanθ＝3，化为直角坐标方程为3x－y＝0，圆心(0,4)到直线的距离为|－4|\r(4)＝2，所以圆上的点到直线距离的最大值为2＋4＝6. 5．已知直线l的参数方程为x＝－1＋t，y＝1＋t，)(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＝4\a\vs4\al\co1(ρ0，\f(3π5π4)，则直线l与曲线C的交点的极坐标为________． 答案　(2，π) 解析　直线l的普通方程为y＝x＋2，曲线C的直角坐标方程为x2－y2＝4(x≤－2)，故直线l与曲线C的交点为(－2,0)，对应极坐标为(2，π)． 6．在平面直角坐标系中，倾斜角为π4的直线l与曲线C：x＝2＋cosα，y＝1＋sinα，)(α为参数)交于A，B两点，且|AB|＝2.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是________． 答案　ρ(cosθ－sinθ)＝1 解析　曲线C的普通方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，设直线l的方程为y＝x＋b，∵弦长|AB|＝2，∴圆心(2,1)到直线l的距离d＝0，∴圆心在直线l上，∴l：y＝x－1，令x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴直线l的极坐标方程为ρ(cosθ－sinθ)＝1. 7．在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sinθ和直线ρsinθ＝a相交于A，B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为________． 答案　3 解析　由ρ＝4sinθ可得ρ2＝4ρsinθ，所以x2＋y2＝4y. 所以圆的直角坐标方程为x2＋y2＝4y，其圆心为C(0,2)，半径r＝2；由ρsinθ＝a，得直线的直角坐标方程为y＝a，由于△AOB是等边三角形，所以圆心C是等边三角形OAB的中心，若设AB的中点为D(如图)． 则CD＝CB·sin30°＝2×12＝1，即a－2＝1，所以a＝3. 8.在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C1，C2的极坐标方程； (2)若直线C3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积． 解　(1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0. (2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0， 解得ρ1＝22，ρ2＝2.故ρ1－ρ2＝2， 即|MN|＝2