对流占优扩散方程的一种新C―N 紧致差分格式.docVIP

对流占优扩散方程的一种新C―N 紧致差分格式 　　摘要：给出了对流扩散方程一种新的C-N紧致差分格式，其截断误差为时间二阶空间四阶，且为无条件稳定的。编制了MATLAB程序，数值试验表明了格式的有效性。 　　关键词：对流扩散方程；紧致格式；C-N格式 　　中图分类号：TP311 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2015）30-0173-04 　　A New C-N Compact Difference Scheme for Solving Convection-Diffusion Equation 　　FENG Li-wei1，XI Wei2 　　（1. ShenYang University of Chemical Technology ， Shenyang 110142， China； 2. ShenYang University of Chemical Technology ， Shenyang 110142， China） 　　Abstract： It gives a new C-N compact finite difference scheme for solving Convection-diffusion equation. Its error is two order in time and four order in space， and is unconditionally stable， and writes MATLAB programs. Finally， a numerical experiment shows the effectiveness of the scheme. 　　Key words：convection-diffusion equation； compact scheme；C-N scheme； 　　对流扩散方程描述了在自然界中大量出现的对流和扩散现象，在流体力学、环境科学以及能源开发等诸多领域有着广泛的应用。因此研究对流扩散问题的数值计算方法就尤为重要[1-3]。田振夫、葛永斌等[4-6]使用Hennite 插值思路给出了求解对流扩散方程的空间四阶差分格式。杨志峰和陈国谦等[7-9]使用综合变换建立了求解对流扩散方程的一种两层隐式四阶紧致差分格式。肖建英等[10]通过引入指数变换造了一种高精度的紧致隐式差分格式，本文采用指数变换将含源项的对流扩散方程变为纯扩散方程，扩散项使用pade逼近的紧致差分离散，时间层上采用C-N格式，得到了一种不同于[10]文的新紧致差分格式。 　　1 差分格式的建立 　　一维对流占优扩散方程 　　[?u?t+a?u?x=ε?2u?x2+fx，t] （ 1 ） 　　对[x-t]平面进行矩形网格剖分，分别取[h，τ]为空间步长与时间步长， [xj=jh ]，[tk=kτ ] 　　作指数变换[u=vea2εx-a24εt]，对流扩散方程变为扩散方程 　　[?v?t=ε?2v?x2+F] （ 2 ） 　　其中[F=ea24εt-a2εxf] 　　下面对（ 2 ）式推导差分格式 　　把[δ2x1+h212δ2xvn+1/2j=?2v?x2n+1/2j+Oh4]代入式（2）得到 　　[δ2x1+h212δ2xvn+1/2j=1ε?v?t-Fn+1/2j+Oh4] 　　即 　　[δ2xvn+1/2j=1ε?v?t-Fn+1/2j+h212εδ2x?v?t-Fn+1/2j+Oh4] （ 3 ） 　　将右端偏导项离散 　　[?v?tn+1/2j=δtvn+1/2j+Oτ2]， 　　[δ2x?v?tn+1/2j=?3v?t?x2n+1/2j+Oh2=?3v?x2?tn+1/2j+Oh2 =δt?2v?x2n+1/2j+Oτ2+h2=δtδ2xvn+1/2j+Oτ2+h2] 　　将上两式代入（ 3 ）式得 　　[δ2xvn+1/2j=1εδtvn+1/2j+h212εδtδ2xvn+1/2j-1εFn+1/2j-h212εδ2xFn+1/2j+Oτ2+h2] 　　即 　　[ε2δ2xvn+1j+δ2xvnj=δtvn+1/2j+h212δtδ2xvn+1/2j-12Fn+1j+Fnj-h224δ2xFn+1j+δ2xFnj+Oτ2+h2]令[ετh2=r]，略去高阶无穷小项后得差分格式 　　[Aj-1vn+1j-1+Ajvn+1j+Aj+1vn+1j+1=Bj-1vnj-1+Bjvnj+Bj+1vnj+1+Cj] （4） 　　其中 　　[Aj-1=1-6r，Aj=10+12r，Aj+1=1-6r] 　　[Bj-1=1+6r，Bj=10-12r，Bj+1=1+6r] 　　[Cj=τ2Fn