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《抽象代数》 练习题 集美大学理学院数学系编 第一章 基本概念 [思考题] 如果集合，则必有或吗？ 映射有哪三个要素？它和函数有何区别？ “是到的映射” 与“是到的映射”一样吗？ “是到的映射”与“是到的映射”一样吗？ 如何定义一个一一映射的逆映射？ 什么叫集合的代数运算？它和一般映射有何区别？ 理解结合律、交换律、分配律的作用. 代数学中的同构观点是什么？ 什么是模剩余类？ 在中学数学与高等代数中，有哪些关系是等价关系？ [填空与选择] 1.设, 则是实数集到正实数集的（ ）映射： （1）不单不满 （2）单而不满 （3）满而不单 （4）又单又满 2．设是数域上的一元多项式全体，是其中的任意多项式.规定 对应关系如下，则（ ）是到的映射： （1） （2）的次数 （3）的最大实根 （4）的系数之和 3. 同态满射保持运算规律中的 不变. 4．除了单位（恒等）映射外， 也是有理数集对于普通加法的自同构. [综合题] 证明集合式：. ,试规定的三个不同的代数运算.共可规定多少代数运算？ 3．在实数集中规定新运算：，问是否满足结合律？交换律？ 4.找一个正实数集到实数集的一一映射，并加证明. *5．试在自然数集到正有理数集之间建立一个一一映射. 6．,代数运算* 由下表给定： 找出的所有一一变换。对于代数运算*，这些一一变换哪些是的自同构？ 7.设 (为偶数), (为奇数).是整数集,. 证明是到的同态映射. 8.以下映射对实数集的普通乘法是否构成到的一个子集的同态映射？ (1) （2） （3） （4） 9.证明和.（为复数集） 10．令是数域上全体阶矩阵作成的集合，证明：对矩阵的普通乘法和数的普通乘法，与同态. 对理数集的普通加法和非零有理数集的普通乘法， 证明与不同构. 证明：是到的同构映射. 证明和不同构.（提示：反证法.考虑中1的原象） 14．，规定都是整数， 证明：~ 是的等价关系. 15.证明集合元素之间的一个等价关系可决定的一个分类. 第二章 群 论 [思考题] 什么是群？在群的第二定义里，如果把两个“左”改成：一“左”一“右”或一“右” 一“左”，可以吗？ 在群中，必有吗？由能得或吗？由能得到吗? 仿照P37例3构造一个元有限群. 如何定义模剩余类的加法使之成为加群？ 已知对运算构成群，且是单位元，试给出的运算表. 商群的元素是什么？它的代数运算是怎样规定？其中为什么要是不变子群？（P73） [填空与选择] 实数域上所有行列式为0（或1或2）的阶矩阵对矩阵的乘法（构成、不构成）一个群.如果是所有阶可逆矩阵呢？ 以下数集对普通乘法构成一个群的是（ ） 奇数集（2）非零整数集（3）非零有理数集（4）实数集 3．设代数系统和同态，则的单位元对应 ，的元逆元对应 ；如果 是群，则 也是群.反之不然. 4．任何一个群都和一个 同构. 5．个元素 的集合共有 个置换. 6．循环群是指 ，称为的 ；当无限阶时，与 同构；当为阶时，与 同构. 7．设有限群与其子群的阶分别为，则的关系是 . 8. 群的每一个子群都是不变子群. 9.在商群中， ，的逆元= ，而单位元是 . 10．一个群和它的每一个 同态；抽象地看，也只能和它的 同态. [综合题] 在整数集中定义代数运算，试证是群. 2.设，则关于矩阵的乘法构成群. 3.设,规定 证明是一个群. 设,证明对变换的乘法作成群.它是的变换群吗？交换群吗？ 5.证明：有限群的每个元的阶必有限. 6.如果群每个元都适合方程（单位元），那么是交换群，且的每个子群都是不变子群. 7.设群的元的阶为，为的单位元，证明当且仅当. 证明群的元和的阶相同；与的阶相同. 9．证明的阶为的阶为. 10．证明循环群的构造定理. 11．设为阶有限群