现代控制理论基础第二章.pptVIP

2.2 eAt的计算方法 因此对第i个约当块有 APi＝PiJi i＝1，2，…，q (2-2-16) 2.2 eAt的计算方法 由于与Pi对应的特征值是λk+i，因此Pi的列数应等于特征值λk+i的重数mk+i ，这样就可以假设Pi为 将Pi代入式(2-2-16) 由此得 2.2 eAt的计算方法 可以看出P1是特征值λmk+i，的特征向量，其余的待定向量可以从式(2-2-17)求出。将式(2-2-17)写成下面形式会更方便。 注意，对不同的特征值，式(2-2-18)中的p1是不同的。 下面的定理给出了在这种条件下计算eAt的方法。 2.2 eAt的计算方法 定理2-2-1 设J是约当形矩阵，且对应于重根λ1, λ2, …, λj ，重数分别为m1, m2, …, mj的约当块为J1, J2, …, Jj ，即有 J＝diag[J1, J2, …, Jj ] 则矩阵指数 2.2 eAt的计算方法 其中 利用定理2-2-1及eAt的性质有 故有 2.3 线性时变系统状态方程的解 设线性时变系统的状态方程如下 首先讨论时变系统齐次状态方程的解 设以n个单位向量ei，i=1, 2, …, n为初值，齐次方程的n个解为xi(t)，i=1, 2, …, n， 则齐次方程的任意解可表示为 显然上式对初始时刻 也成立，则 2.3 线性时变系统状态方程的解 由上式可得 则式(2-3-3)可写成 上式中的Φ(t, t0)即为状态转移矩阵。若X(t)是齐次方程的任意基本解阵，则一定有 可以证明上述关系。首先状态方程式(2-3-2)的任意基本解阵都满足矩阵微分方程 则状态转移矩阵Φ(t, t0)正是此微分方程在X(t0) ＝I时的解。 2.3 线性时变系统状态方程的解 对式(2-3-6)的右端求导 考虑到X(t)及X－1(t0)都是非奇异矩阵，且X(t0)X－1(t0) ＝I的事实，因此，矩阵X(t)X－1(t0)必是下面矩阵微分方程的解。Φ(t, t0) 而且也是齐次状态方程(2-3-2)的一个基本解阵。因此，这个基本解阵就是齐次状态方程(2-3-2)的转移矩阵（因为初始条件是标准正交基），即 证毕 2.3 线性时变系统状态方程的解 下面利用转移矩阵来进一步讨论非齐次状态方程式(2-3-1)的解。设非齐次状态方程的解为 则有z(t0)＝x(t0)，以及 将上式与式(2-3-1)比较，有 对上式两边积分得 2.3 线性时变系统状态方程的解 故非齐次状态方程式(2-3-1)的解为 时变系统得状态转移矩阵比较难求，特殊情况下可以简单一点。 定理2-3-1 若矩阵A(t)满足 证明：由矩阵指数的定义有 则有 （接下页） 2.3 线性时变系统状态方程的解 （承上页） 因此有： 2.4 离散系统状态方程的解 设线性离散系统的状态方程如下 首先讨论时域解 2.4 离散系统状态方程的解 若k0＝0则上式可写成 这个解可以分成零输入解和零初值解两部分。从上式不难看出 1。k时刻的状态x[k]与该时刻的输入u[k]无关， u[k]只对下一步状态x[k＋1]起作用 2。解中的Fk相当于连续解的eAt，故也称为转移矩阵，记为Φ[k]。显然它满足矩阵差分方程 3。若将F变换为对角形或约当形，可以证明有 2.4 离散系统状态方程的解 下面讨论频域解法。设k0＝0，对状态方程进行Z变换，有 从上式解出 对等式两边进行Z反变换就得到离散状态方程的解 与时域解相比较有 2. 状态方程的解 分析一个动态系统的运动过程，最直接的方法莫过于解出它的时间解。本章叙述线性系统状态方程的解法。 2.1 线性定常系统状态方程的解 线性定常系统的状态方程为 解此方程需要两个条件：状态变量的初值x(t0)=x0及输入u(t)其中t≥t0 一、齐次状态方程的解 不失一般性，设