现代控制理论基础第五章.pptVIP

第六节 解耦控制 且 根据di的定义式(5-6-47)可知， gi(s)中各元传递函数的分母和分子多项式的次数之差的最小值为(di＋1)，这表明式(5-6-53)中与sn－1、sn－2、sn－di相关的各系数矩阵均为零，而与sn－di－1相关的系数矩阵必不为零。于是得到 和 这意味着di是使ciAkB≠0的正整数k的最小值。而当gi(s) ≡0时，也即ciAkB ＝0 (i=0, 1, …, n－1)时，则规定di ＝ n－1 。从而式(5-6-49)得证。 第六节 解耦控制 再根据Ei的定义式(5-6-48)和gi(s)的关系式(5-6-53)，并注意到式(5-6-56)和式(5-6-57)，即得 于是命题得证。由上述命题可以进一步推得下述结论。 命题5-6-2：对于任意的矩阵对{L, K}，其中det L≠0，闭环系统式(5-6-41)的传递函数矩阵GKL(s)的第i个行向量可表为 其中 第六节 解耦控制 而GKL(s)的两个特征量 和 可表为 命题5-6-3：对于任意的{L, K}，det L≠0，开环系统(5-6-39)和闭环系统(5-6-41)的传递函数矩阵的特征量di和 之间， Ei和 之间存在如下关系 证明：对任一i，由条件 可以导出 第六节 解耦控制 再由 和式(5-6-67)又可导出 此外，因L为非奇异，可知当 时上式将不为零。于是根据 和 的定义，即可由式(5-6-68)和式(5-6-69)断言 ＝ di和 ＝ Ei L。 第六节 解耦控制 2。动态解耦条件 定理5-6-1：线性定常被控系统(5-6-39)可采用状态反馈和输入变换，即存在矩阵对{L, K}使得系统(5-6-39)在控制律(5-6-40)的作用下可实现输入-输出动态解耦的充分必要条件是如下的m×m常数矩阵为非奇异。 证明：必要性 已知存在矩阵对{L, K} ，其中L非奇异，使得系统(5-6-39)在控制律(5-6-40)作用下可实现输入-输出解耦，即使闭环系统(5-6-41)的传递函数矩阵为如下的对角阵 第六节 解耦控制 由此并利用式(5-6-48)可得 这表明 为对角线非奇异常阵。再由命题5-6-3可知 ＝EL且L为非奇异，从而即知E＝ L－1为非奇异，必要性得证。 充分性 我们采用构造性证明，已知E为非奇异，故E－1存在，从而取{L, K}为 L＝E－1， K＝－E－1F (5-6-72) 其中m×n阶常阵F定义为 第六节 解耦控制 相应地可导出闭环系统的传递函数矩阵为 GKL(s)＝C(sI－A－BE－1F)－1BE－1 (5-6-74) 再利用式(5-6-61)可将其第i行表示为 进而注意到 ＝di及特征量 的定义，可知上式中有 或等价地有 利用式(5-6-77)和(5-6-63)还可以定出式(5-6-75)中剩下的其它各项为（接下页） 第六节 解耦控制 第六节 解耦控制 于是将式(5-6-76)和式(5-6-77)代入式(5-6-75)，可进一步得到 另一方面，根据Calay-Hamilton定理有 现将式(5-6-80)两边乘以 ，那么由于下式 而 ≠0，故得 第六节 解耦控制 类似地，将式(5-6-80)两边乘以 ，又可得到 依此类推，可以得到 从而将式(5-6-82)～ (5-6-84)代入式(5-6-62)中，可以得到 这样，由式(5-6-79)和式(5-6-85)就可以把gKLi(s)表示为 第六节 解耦控制 这表明，在式(5-6-72)的{L, K}选择下，闭环系统的传递函数矩阵为 即为对角阵且非奇异，也即实现了解耦，于是充分性得证。至此整个证明完成。 几点说明： ①定理5-6-1表明，被控系统(5-6-39)能否采用状态解耦和输入变换来实现解耦，唯一地决定于其传递函数矩阵G(s)的两组特征量di和Ei (i=1, 2, …, m)。从表面上看，系统的能控性或可稳性在这里是无关重要的。但是，为了保证解耦后的系统要能正常地运行，并具有良好的动态性能，仍要求被控系统是能控的， 第六节 解耦控制 或至少是能稳的。否则，若不能保证解耦后的诸单变