现代控制理论基础第六章.pptVIP

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 第五节 系统的极点、零点及解耦零点 反之，如果P(s)不是方阵，则可以证明，在常数矩阵反馈下，系统可能会失去一些解耦零点。在这种情况下，系统的不变零点就只是在常数矩阵反馈下保持不变的那些系统零点，而不是全部的系统零点。 系统零点、不变零点、 解耦零点和传递零点四者 之间的关系如图6-5-6所示。 图中画有阴影和虚线的部分 表示系统全部解耦零点的集合。 如果系统中不存在解耦零点，则系统零点、不变零点和传递零点三者是一致的。 例：设有方形系统矩阵 传递零点 不变零点 系统零点 图 6-5-6 第五节 系统的极点、零点及解耦零点 要求分别求出系统的极点、零点、i. d.零点、o. d.零点、i. o. d.零点以及传递函数矩阵的零点和极点。 ①按定义 det T(s)＝s2(s＋1)(s＋2) 所以系统极点为 {ηi}＝{0, 0, －1, －2} ② det P(s)＝s2(s＋1) 是P(s)的唯一的最高阶子式，因此它就是P(s)的5阶子式的最大公因子，所以系统零点为 {zi}＝ {0, 0, －1} ③当s＝0时， P(s)的第3行为全零行，故T(s)、 U(s)非互质，因而有一个i. d.零点 {βi} ＝ {0} ④当s2(s＋1)＝0时， P(s)的第3列为全零列，故T(s)、 V(s)非互质，因而有o. d.零点 {γi} ＝ {0, 0, －1} ⑤系统的i. o. d.零点为 {δi} ＝ {0} 第五节 系统的极点、零点及解耦零点 ⑥传递零点为 {εi} ＝系统零点－系统解耦零点 ＝{zi}－{βi}－{γi}＋{δi} ＝{0, 0, －1}－{0}－{0, 0, －1}＋{0}＝Φ 即传递零点是空集，也就是没有传递零点。 ⑦传递极点为 {αi}＝系统极点－系统解耦零点 ＝{ηi}－{βi}－{γi}＋{δi} ＝{0, 0, －1, －2}－{0}－{0, 0, －1}＋{0} ＝{－2} 所以这个系统矩阵对应的传递函数矩阵为 第五节 系统的极点、零点及解耦零点 5。严格等价变换下系统的极点、零点的性质 定理6-5-1：系统矩阵P(s)的系统极点、系统零点、 i. d.零点、 o. d.零点、传递极点和传递零点在严格等价变换下都是不变的。 证明：①设 其中T1(s)＝M(s)T(s)N(s)，而M(s)、N(s)为单模矩阵。显然， det T1(s) ＝0的全部零点和det T(s) ＝0的全部零点相同，即系统极点{ηi}在严格等价变换下是不变的。 ②由 得知[T(s) U(s)]和[T1(s) U1(s)]的Smith标准形相同，所以P(s)的i. d.零点{βi}在严格等价变换下不变。 第五节 系统的极点、零点及解耦零点 ③由 得知 和 的Smith标准形相同，所以P(s)的o. d.零点{γi}在严格等价变换下不变。 ④在严格等价变换下，系统的传递函数矩阵相同，所以其传递极点和传递零点不变。 ⑤由于系统极点＝传递极点＋i. d.零点＋o. d.零点－i. o. d.零点 而在严格等价变换下，系统极点、传递极点、 i. d.零点、o. d.零点均不变，所以i. o. d.零点也不变，因而系统的解耦零点不变。 ⑥由于 系统零点＝传递零点＋系统解耦零点 而在严格等价变换下，解耦零点和传递零点不变，所以系统零点也不变。 证毕。 第五节 系统的极点、零点及解耦零点 6。闭环系统的零点和极点 定理6-5-2：设开环系统矩阵为 根据式(6-1-37)，闭环系统矩阵为 当l＝m，且F(s)为m×m的多项式反馈矩阵，又det TC(s)不恒等于0时，则闭环系统的 i. d.零点、o. d.零点、i. o. d.零点、传递零点、系统零点分别与开环系统的i. d.零点、o. d.零点、i. o. d.零点、传递零点、系统零点相同。 第五节 系统的极点、零点及解耦零点 证