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从一道例题谈解析几何中的定值问题 　　摘要：“问题是数学的心脏”，这要求教师能够找到好的问题，激发学生的探究意识，引起学生认知上的冲突，不断地从一个问题引申到另一个问题。以“少教多学”的理念为指导，以一个例题为切入点，解析几何中定值问题的处理方法和思路，得到了处理该类问题的一般性方法。 　　关键词：解析几何;定值问题;少教多学 　　中图分类号：G632 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）43-0260-02 　　 一、引言 　　定值问题是中学数学问题中最普遍、最重要的题型之一，其表现形式与解决方法千变万化。定值问题覆盖面广、综合性较强，渗透了化归，数形结合等数学思想，因此成为近几年高考的热点问题之一。以“少教多学”的理念为指导，本文从一个例题谈起，引出了解析几何中的定值问题，探究在定值问题上的处理思路和方法，为学生分析、解决该类问题提供一定的借鉴和指导。基于本人南京市基础教育教师示范课――解析几何中的定值问题整理而成的。下面摘录其中的一些教学过程片段。 　　二、教学片断 　　问题（一）：已知过抛物线C：y= x 的焦点F的直线交抛物线于A（x ，y ），B（x ，y ）两点，求证：x x 为定值。 　　注：三分钟后同学们开始交流思路。 　　S1：通过分析已知条件，过焦点F（0，1）的直线l的方程可以设为y=kx+1。由于直线l交抛物线于两点A，B，故A，B两点的坐标满足y=kx+1y= x 。由题目中所求的结果“x x ”，联想到韦达定理。 　　T：非常好！你抓住了最终的求解目标！可是如果题目不是求x x ， 而是求2x +x 怎么办呢？ 　　S2：只要把上述方程组解出来就可以了！ 　　T：下面请这两位同学分别用刚才的分析思路给出该题目的完整过程。 　　S1：（解法一）设直线方程为y=kx+1，因为直线l交抛物线两点，所以y=kx+1y= x 　　故，x -4kx-4=0，由韦达定理得：x x =-4。 　　S2：（解法二）由x -4kx-4=0解得x1=2k+2 ，x2=2k-2 ，故x x =-4。 　　T：其他的同学让我们继续思考！分析刚才这两位同学的做法：通过认真审题，从题目中所给的两个条件中捕捉到了他们想要的信息顺利解决了这个问题。已知条件是我们解决问题的前提，下面我们一起把题目重新解读一遍，看能否尝试着从另外一个角度解决这个问题。比如：上述同学看到题目已知条件中的“过”就能想到写出直线的方程，看到“交”就能想到联立方程组，他们直接把“几何问题代数化”，即从“数”的角度解决了这个问题――体现了数形结合的思想。 　　T：从“过抛物线C：y= x 焦点F的直线”，能得到哪些信息？ 　　S：点在直线上。 　　T：从“直线交抛物线于A，B两点”，能得到信息？ 　　S：A，B两点既在直线上，又在抛物线上。 　　T：综合上述两条我们是否可以得到A，F，B三点共线？有哪些方法可以刻画“三点共线”？ 　　S3：斜率相等，即：k =k 。 　　S4：向量共线，即： 与 共线。 　　S5：线段相等，即：AB=AF+BF。 　　S6：还可以设出AB的直线方程，然后代入F的坐标。 　　T：好的，我们暂时交流到这里，接下来请选择一种你最喜欢的方法把这个问题解出来。（同时找学生板演） 　　S3：（解法三）由A，F，B三点共线可得 　　k =k ，即： = 　　又因为y = x ，y = x ，所以 = 　　整理化简得（x -x ）（x x +4）=0， 　　 有x ≠x 知，x x =-4。 　　S4：（解法四）因为A、F、B三点共线，所以 // 。 　　又 =（x ，y -1）， =（x ，y -1）， 　　∴x （y -1）=x （y -1）。 　　下面的步骤与解法三相同，限于篇幅，在此省略。 　　S5：（解法五）由A，F，B三点共线，可得AB=AF+BF，即 　　 = 　　 + 　　根据抛物线的第二定义得， 　　 =（y +1）+（y +1） 　　整理化简上式得： 　　 x -2x x +x =4y y +4y +4y +4，将y = x ，y = x ，代入上式得（x x ） +8x x +16=0，所以x x =-4。 　　S6：（解法六） 直线AB的方程为y-y = （x- 　　x ），点F（0，1）在直线AB上，即1-y = （0-x ）. 　　 将y = x ，y = x ，代入得1- x = （x +x ）