第二章Z变换.doc

Z变换 §2-1 引言 信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。 一.时域分析法 1.连续时间信号与系统：信号的时域运算，时域分解，经典时域分析法，近代时域分析法，卷积积分。 2.离散时间信号与系统：序列的变换与运算，卷积和，差分方程的求解。 二.变换域分析法 1.连续时间信号与系统： 信号与系统的频域分析、复频域分析。 2.离散时间信号与系统：Z变换，DFT(FFT)。Z变换可将差分方程转化为代数方程。 §2-2 Z变换的定义及收敛域 一.Z变换定义： 序列的Z变换定义如下： *实际上，将x(n)展为z-1的幂级数。 二.收敛域 1.定义: 使序列x(n)的z变换X(z)收敛的所有z值的集合称作X(z)的收敛域。 2.收敛条件： X(z)收敛的充要条件是绝对可和。 3.一些序列的收敛域 (1).预备知识 阿贝尔定理: 如果级数 ，在 收敛,那么,满足0≤|z||z+|的z,级数必绝对收敛。|z+|为最大收敛半径。 同样,对于级数 ，满足 的z， 级数必绝对收敛。 |z_|为最小收敛半径。 (2) 有限长序列 (3)右边序列 *第一项为有限长序列，第二项为z的负幂级数, 第一项为有限长序列,其收敛域为0|z|∞; 第二项为z的负幂次级数，由阿贝尔定理可知, 其收敛域为 Rx-|z|≤∞; 两者都收敛的域亦为Rx-|z|∞; Rx-为最小收敛半径。 (4)因果序列 它是一种最重要的右边序列,由阿贝尔定理可知收敛域为： (5)左边序列 (6)双边序列 双边序列指n为任意值时,x(n)皆有值的序列，即左边序列和右边序列之和。 第一项为右边序列(因果)其收敛域为： 第二项为左边序列，其收敛域为： 当Rx-Rx+时，其收敛域为 §2-3 Z反变换 一.定义： 已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n)的变换称作Z反变换。 z变换公式： C为环形解析域内环绕原点的一条逆时针闭合单围线。 二.求Z反变换的方法 1.留数法 由留数定理可知： 为c内的第k个极点， 为c外的第m个极点，Res[ ]表示极点处的留数。 留数的求法： 1、当Zr为一阶极点时的留数： 2、当Zr为l阶(多重)极点时的留数： §2-4 Z变换的基本性质和定理 线性 如果 则有： *即满足均匀性与叠加性；*收敛域为两者重叠部分。 2. 序列的移位 如果 则有： 3. Z域尺度变换(乘以指数序列) 如果 ，则 4. 序列的线性加权(Z域求导数) 如果 ，则 5. 共轭序列 如果 ，则 6. 翻褶序列 如果 ，则 7. 初值定理 8. 终值定理 9. 有限项累加特性 证明： 10.序列的卷积和(时域卷积定理) 证明： 11.序列相乘(Z域卷积定理) 其中,C是在变量V平面上，X(z/v),H(v)公共收敛域内环原点的一条逆时针单封闭围线。 12.帕塞瓦定理(parseval) 如果： 则有： 其中“*”表示复共轭，闭合积分围线C在公共收敛域内。 *几点说明： §2-5 Z变换与拉氏变换、傅氏变换的关系 一.Z变换与拉氏变换的关系 1.理想抽样信号的拉氏变换 设 为连续信号， 为其理想抽样信号， 则 序列x(n)的z变换为