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8.2 椭圆的几何性质(5) ——椭圆的参数方程（教案） 齐鲁石化五中 翟慎佳 2002.10.25 目的要求： 了解椭圆参数方程，了解系数a、b、含义。 进一点完善对椭圆的认识，并使学生熟悉的掌握坐标法。 培养理解能力、知识应用能力。 教学目标： 知识目标：学习椭圆的参数方程。了解它的建立过程，理解它与普通方程的相互联系；对椭圆有一个较全面的了解。 能力目标：巩固坐标法，能对简单方程进行两种形式的互化；能运用参数方程解决相关问题。 德育目标：通过对椭圆多角度、多层次的认识，经历从感性认识到理性认识的上升过程，培养学生辩证唯物主义观点。 重点难点： 重点：由方程研究曲线的方法；椭圆参数方程及其应用。 难点：椭圆参数方程的推导及应用。 教学方法： 引导启发，计算机辅助，讲练结合。 五．教学过程： （一）引言（意义） 人们对事物的认识是不断加深、层层推进的，对椭圆的认识也遵循这一规律。 本节课学习椭圆的参数方程及其简单应用，进一步完善对椭圆认识。 （二）预备知识（复习相关） 求曲线方程常用哪几种方法？ 答：直接法，待定系数法，转换法〈代入法〉，参数法。 举例：含参数的方程与参数方程 例如：y=kx+1（k参数）含参方程，而（t参数）是参数方程。 直线及圆的参数方程？各系数意义？ （三）推导椭圆参数方程 提出问题（教科书例5） 例题．如图，以原点为圆心，分别以a、b（ab0）为半径作两个圆。点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作ANOx，垂足为N，过点B作BMAN，垂足为M。求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹的参数方程。 分析问题 本题是由给定条件求轨迹的问题，但动点较多，不易把握。故采用间接法——参数法。 引导学生阅读题目，回答问题： （1）动点M是怎样产生的？ M与A、B的坐标有何联系？ （2）如何设出恰当参数？ 设∠AOX=为参数较恰当。 解决问题（板演） 解：设点M的坐标(x,y)，是以Ox为始边，OA为终边的正角， 取为参数，那么 x=ON=|OA|cos， y=NM=|OB|sin 即 ① 引为点M的轨迹参数方程，为参数。 更进一步（板演：化普通方程） 分别将方程组①的两个方程变形，得 两式平方后相加， 消去参数得方程 由此可知，点M的轨迹是椭圆，方程①是椭圆的参数方程。为参数，为离心角，常数a、b分别是椭圆长半轴和短半轴长。 加深理解 椭圆参数方程（为参数），参数有明显几何意义。离心角与∠MOX一般不同。参数方程提供了设点的方法。 椭圆参数方程与普通方程可互相转化。“设参←→消参”。 椭圆的参数方程也可由（ab0）三角换元直接得出，即令，。双曲线也有类似换元。 可仿P95例3，将圆压缩或拉伸的办法求到椭圆参数方程 （四）参数方程的应用（例题分析） 例1． 参数方程普通方程互化（1） （2） 例2. 练习：参数方程普通方程互化 （1） （2） 例3．在椭圆上求点P，使P到L：x-y+4=0的距离最小。 分析1：（目标函数法）设P(x,y)为椭圆上任一点，由得 ，则P到L的距离 再想办法求最值，但太繁不可取。 分析2：（几何法）把直线L平移到L1与椭圆相切， 此时切点P为所求的点。即设L1：x-y+m=0, y L x L1 由， 整理得9y2-2my+m2-8=0. 由△=4m2-4·9(m2-8)=0得m=±3. 如图可知m=3时最小. 可计算平行线间的距离， ，此时P（-） 分析3：（参数法）设P（2cos,sin），则有 ，其中 当时，d有最小值， 则， 即P（-） 方法小结：（1）本题运用参数方程比普通方程简单 （2）当直接设点的坐标不易求解时，可尝试建立参数方程 例4．P(x,y)为椭圆上任一点，求2x+y的最大值。 例5．设椭圆上一点P，使OP与x轴正向所成 角∠POX=，=，代入椭圆参数方程 x=2,y=3，从而P（2，3）。 事实上，若注意P对应参数与∠POX关系，可避免此误。 解：设P（，），由P与x轴正向所成的角为， ，即tan=2. 而sin0,cos0, cos=, sin= P点坐标为（，）。 （四）教学小结： 1．坐标法推导出椭圆的参数方程，学习了a、b、的几何意义 2．通过学习，完善了对椭圆的认识。椭圆的两个定义及两种方程都是等价的。 参数方程在解决轨迹问题与极值问题时是有效的。 4．通过学习增强运用参数解题的意识。 （五）补充练习 1．点P在椭圆7x2+4y2=28上，则点P到直线3x-3y-16=0的距离的最大值为（ ） A． B. C. D. 2．P是椭圆上任意一点，F1、F2是两个焦点，且满足PF1PF2的点P有