椭圆的基本性质.docVIP

第二讲 椭圆的简单几何性质 一 椭圆的简单几何性质 （1）对称性：对于椭圆标准方程：是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 （2）范围：椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，。（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为，，，。 ③线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，,。和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 （4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作。②因为，所以的取值范围是。越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为。例1 求椭圆的长轴长，短轴长，离心率，焦点和顶点坐标 例2 已知椭圆的对称轴为坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos∠OFA=，求椭圆方程 （5）椭圆的第二定义：椭圆上的点到某焦点的距离与该点到该点对应的准线的距离的比为椭圆的离心率。即下图中有 准线方程： 二 求椭圆的离心率 椭圆的离心率 例3 （1）已知椭圆的一个焦点将长轴分成长为的两段，求其离心率； （2）已知椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4，求其离心率 例4已知椭圆（）的左焦点为F，右顶点为A，，上顶点为B，若，则称其位“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率是 例5设椭圆上存在一点P，它到椭圆中心和长轴一个端点的连线互相垂直，求椭圆离心率的取值范围 例6 设M为椭圆（上一点，为椭圆焦点，若=75°，=15°，求椭圆的离心率 三 直线与椭圆的位置关系 （1）平面内点与椭圆的位置关系 椭圆将平面分成三部分：椭圆上，椭圆内，椭圆外，任给一点， 若点在椭圆上，则有（ 若点在椭圆内，则有（ 若点在椭圆外，则有（ （2）直线与椭圆的位置关系 把椭圆方程（与直线方程联立消去y，消元后得到一元二次方程，然后通过判别式来判断直线和椭圆是否相交、相切或相离。 （3）直线与椭圆的相交弦 设直线交椭圆于点两点则 （自己推导） （4）直线与椭圆相交的“中点弦”问题 例7对不同实数值m，讨论直线与椭圆的公共点个数 例8已知点P（4,2）是直线l被椭圆所截得线段的中点，求直线l的方程 四 椭圆中的最值问题 椭圆中的最值问题，按照转化途径主要有以下3种 利用定义转化（第一，第二定义皆可） 利用椭圆的几何性质 椭圆上到中心距离最远和最近的点 椭圆上一点与焦点的距离的最值 转化为函数求最值 例9 如图,已知定点A(2,1),F(1,0)是椭圆的一个焦点,P是椭圆上的点,求：|PA|+|PF|的最值, 短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求的最大值 例11设点是椭圆的左焦点，弦AB过椭圆的右焦点，求△的面积的最大值 随堂练习 1已知方程-=1表示焦点在y轴上的椭圆,则该椭圆的焦距长为(　　) A.2　　B.2　　C.　　D. 椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,则m等于(　　) A.　　B.2　　C.4　　D. 若椭圆的短轴的两个端点与长轴的一个端点是一个正三角形的三个顶点,则该椭圆的离心率等于(　　) A.　　B.　　C.　　D. 椭圆C1: +=1与椭圆C2: +=1(k9)(　　) A.有相同的长轴　　B.有相同的短轴　　C.有相同的焦点　　D.有相等的离心率 设F1、F2分别是椭圆+=1(ab0)的左、右焦点,过F1的直线与椭圆交于A、B两点,且·=0,| |=||,则椭圆的离心率为(　　) A.　　B.　　C. -　　D. - 已知P是椭圆2x2+3y2=6上的点,则P到该椭圆的一个焦点的最短距离是____________. 若焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率为,则m=____. 已知一椭圆的焦点在x轴上,长轴端点与相近的焦点的距离是1,靠近直线x=的焦点与这条直线的距离是,求这一椭圆的标准方程及它的顶点坐标、焦点坐标和离心率.