椭圆、双曲线。抛物线典型例题整理.docVIP

椭圆典型例题 一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。 例1：1.已知椭圆的焦点是F1(0，－1)、F2(0,1)，P是椭圆上一点，并且PF1＋PF2＝2F1F2，椭圆的标准方程。．已知椭圆的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且2a＝10，椭圆的标准方程． ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。 例．过点(－3,2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程． 轴上的椭圆与直线交于、两点，为中点，的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程． 五、求椭圆的离心率问题。 例1 已知椭圆的离心率，求的值． 六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题 例：1.若ABC的两个顶点坐标A(－4,0)，B(4,0)，ABC的周长为18，顶点C的轨迹方程。．已知椭圆的标准方程是＋＝1(a5)，它的两焦点分别是F1，F2，且F1F2＝8，弦AB过点F1，ABF2的周长．4a＝4.．设F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1PF2＝21，PF1F2的面积． PF1F2的面积为PF1·PF2＝×2×4＝4. ，求过点且被平分的弦所在的直线方程． 所求直线方程为． 双曲线典型例题 一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。 例1　讨论表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 解：（1）当时，，，所给方程表示椭圆，此时，，，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）． （2）当时，，，所给方程表示双曲线，此时，，，，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）． （3），，时，所给方程没有轨迹． 二、根据已知条件，求双曲线的标准方程。 例2　根据下列条件，求双曲线的标准方程． （1）过点，且焦点在坐标轴上． （2），经过点（－5，2），焦点在轴上． （3）与双曲线有相同焦点，且经过点 解：（1）设双曲线方程为 ∵ 、两点在双曲线上， ∴解得 ∴所求双曲线方程为 说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的． （2）∵焦点在轴上，， ∴设所求双曲线方程为：（其中） ∵双曲线经过点（－5，2），∴ ∴或（舍去） ∴所求双曲线方程是 说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉． （3）设所求双曲线方程为： ∵双曲线过点，∴ ∴或（舍） ∴所求双曲线方程为 三、求与双曲线有关的角度问题。 例3 已知双曲线的右焦点分别为、，点在双曲线上的左支上且，求的大小． 解：∵点在双曲线的左支上 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ （2）题目的“点在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索． 四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。 例4 已知、是双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，求的面积． 分析：利用双曲线的定义及中的勾股定理可求的面积． 解：∵为双曲线上的一个点且、为焦点． ∴, ∵ ∴在中， ∵ ∴ ∴ ∴ 五、根据双曲线的定义求其标准方程。 例5　已知两点、，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹． 解：根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线． ∵， ∴ ∴所求方程为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线． 例　是双曲线上一点，、是双曲线的两个焦点，且，求的值． 解：在双曲线中，，，故． 由是双曲线上一点，得． ∴或． 又，得． 六、求与圆有关的双曲线方程。 例6　求下列动圆圆心的轨迹方程： （1）与⊙内切，且过点 （2）与⊙和⊙都外切． （3）与⊙外切，且与⊙内切． 解：设动圆的半径为 （1）∵⊙与⊙内切，点在⊙外 ∴，， ∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支，且有： ，， ∴双曲线方程为 （2）∵⊙与⊙、⊙都外切 ∴，， ∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的上支，且有： ，， ∴所求的双曲线的方程为： （3）∵⊙与⊙外切，且与⊙内切 ∴，， ∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支，且有： ，， ∴所求双曲线方程为： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 抛物线典型例题 一、求抛物线的标准方程。 例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程． （1） （2） 解：（1），∴焦点坐标是（0，1），准线方程是： （2）原抛物线方程为：， ①当时，，抛物线开口向右， ∴焦点坐标是，准线方程是：． ②当时，，抛物线开口向左， ∴焦点坐标是，准线方程是：． 综合上述，当时，抛物线的焦点坐标为，准线方程是：． 二、求直线与抛物线相结合的问题 例2 若直线与抛物线交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线方程． 解法一：设、，则由：可得：． ∵直线与抛物线相交，且，则． ∵AB中点横坐标为：， 解得：或（舍去）． 故所求直线方程为：． 解法二：设、，则有．