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椭圆及其性质 ☆知识梳理☆ 一、椭圆的定义 1、 的点的轨迹叫椭圆， 两定点叫 ，两点之间的距离叫 。 2、用符号语言表述为： 。 二、椭圆的标准方程及简单几何性质 标准方程 图形 条件 ；2 2 范围 顶点 焦点 离心率 ； 越大， ；越小， 三、直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于或y的一元二次方程，其判别式为Δ. ①Δ＞0 (或两个公共点）； ②Δ＝0 (或一个公共点)； ③Δ＜0 。 2、弦长公式： 。 3、到两定点的距离之和为，则动点的轨迹是椭圆 （2）已知的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在边上，则的周长是 2、对椭圆的标准方程及简单几何性质理解 （1）若椭圆的焦点坐标是，则 （2）离心率为，长轴长为8的椭圆标准方程是 （3）点是椭圆短轴的一个顶点，是椭圆的焦点，若是等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （4）已知，是的中点，点在平面内运动且保持，则的最大值是3，最小值是 ☆典例精析☆ 题型1 椭圆的定义 例1：在直角坐标平面内已知两点，动点到点的距离为6，线段的垂直平分线交于点点的轨迹方程（A. B. C. D. 变1：点在椭圆 上运动，分别在两圆和上运动，则的最大值为． 已知动点，向量且满足，动点 的轨迹方程．求满足下列条件的椭圆的标准方程焦点在坐标轴上，且经过两点，； 经过点且与椭圆具有共同的焦点. 分别是此椭圆的右顶点和上顶点，是的中点，为椭圆的右焦点，交椭圆于点，且，若，则椭圆的标准方程是 ． 变2：若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率 ． 变1：已知点是右支上一点，分别是的左、 右焦点，为的内心，若成立，则的离心率为（ ） A. B．C．D． 过椭圆上一点作直线交椭圆于两点，设的斜率分别为，若点关于原点对称，且则此椭圆的离心率为. 变3：已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且，椭圆离心率 的取值范围的左右焦点分别为若椭圆上存在点使，则该椭圆离心率的取值范围是 ． 题型4 椭圆的简单几何性质 例4：若椭圆的焦点在轴上，过点作圆的切线，切点分别为，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 ． 变1：点在椭圆上，则的最大值是 ． 题型5 直线与椭圆的位置关系 例5：中心在原点，一个焦点为的椭圆截直线所得弦的中点横坐标为，求椭圆的方程． 变1：已知直线与椭圆与椭圆左半部分恒有两交点，求 的取值范围． 变2：过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程． 题型6 椭圆范围问题 例6：已知椭圆的左右焦点分别为,过的直线交椭圆于两点，过 的直线交椭圆于两点，，垂足为，求四边形的面积的最小值． 变1：已知椭圆的中心在坐标原点，一个焦点坐标是，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作直线交椭圆于两点，是椭圆的另一个焦点，求的取值范围． 变2：已知椭圆C：的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为，过椭圆C的右焦点的动直线与椭圆C相交于两点． （1）求椭圆C的方程； （2）若线段中点的横坐标为，求直线的方程； （3）若线段的垂直平分线与轴相交于点，设弦的中点为，试求 的取值范围． 变3：已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为）． （1）求椭圆的方程； （2）设点是直线与轴的交点，过点的直线与椭圆相交于两点，当线段的中点落在正方形内（包括边界）时，求直线的斜率的取值范围．