椭圆切线的性质和作图(徐文平修改稿).docxVIP

椭圆切线的性质和作图徐文平（东南大学 南京210096）摘要：建立椭圆内接四边形的几何模型，依据极点与极线的基本知识，探讨椭圆曲线切线的性质，提出了椭圆切线的简明作图新方法，并给出了简单证明。椭圆的内接四边形有许多的奇妙性质，作者在研究其极点和极线性质的过程中，发现了椭圆内接四边形的四极点调和分割定理。运用新定理，椭圆切线的性质研究就能大大简化，然后进行椭圆切线的简明作图方法探寻，并推广运用于圆锥曲线的切线作图，供大家鉴析。一、过椭圆上一点作切线定理1：圆锥曲线内接四边形的对边延伸线两交点调和分割对角线两极点[1]。如图1，椭圆内接四边形KLMN，对边线KN与LM交于A，对边线KL与NM交于B，对角线KM的极点为C，对角线LN的极点为D，KM与LN交于Q点，则A、B、C、D四点共线，且AB调和分割CD，即1/AC+1/AD＝2/AB。双曲线和抛物线也具有同样性质。 图 1命题1：已知椭圆的斜向割线AB，作一条过椭圆圆心O点的任意割线JK， JA、BK交于E点，JB、AK交于F点，确定EF的中点 N点，连线NA、NB就是椭圆的切线。证明：由于割线JK的极点在无穷远，利用定理1，可以快速证明这个命题。图2命题2：已知双曲线的斜向割线AB，点J、K是双曲线的顶点，JA、BK交于E点，JB、AK交于F点，确定EF的中点 N点，连线NA、NB就是双曲线的切线。证明：类似椭圆切线的证明方法，略。如果JK为过原点O的双曲线割线，仍然成立。 图3命题3：已知抛物线的斜向割线AB，点J是抛物线上任意一点，JA与过B点竖向线交于F点，JB与过A点竖向线交于E点，确定EF的中点 N点，连线NA、NB就是抛物线的切线。证明：由于J、A、B三点和无穷远点共计四点，可以构成抛物线的内接四边形，利用定理1，可以快速证明这个命题。 图4问题1：已知椭圆的斜向割线PQ，求切线交点（极点）。但是，椭圆圆心O点不知道啊，应该如何办啊？ 图5方法1：已知椭圆的斜向割线PQ，作任意一条割线AB，则PQ和AB交于S点，对于椭圆内接四边形APBQ，延伸对边线可得到M、N交点，从而获得S点的极线MN。同样方法，作任意一条割线GH，则PQ和GH交于T点，可获得T点的极线EF。极线MN和极线EF交于C点，连线PC、QC就是椭圆的切线，C为PQ线的极点。证明：由于 S、T为PQ极线上的二点，依据极点极线的对偶定理，可知，S、T极点的极线MN和极线EF交于C点就是PQ的极点，连线PC、QC就是椭圆的切线。二、过椭圆外一点作切线定理2：圆锥曲线的内接完全四点形的对边三点形是圆锥曲线的自配极三点形[2]。命题4：已知椭圆外一点P，过P点作PAB与PCD二条任意椭圆割线，AD、CB交于Q点，AC、BD延长交于R，连线QR与椭圆交于S、T两点，PS、PT就是椭圆的切线。 图 5证明：由圆锥曲线的极点与极线知识可知，ΔPQR为自配极三角形，极点P与QR极线对应，极点R与QP极线对应，极点Q与PR极线对应。因此，连线QR与椭圆交于S、T两点，PS、PT就是椭圆的切线。命题5：双曲线外一点P，过P点作PAB与PCD二条任意双曲线割线，AD、CB交于Q点，AC、BD延长交于R，连线QR与双曲线交于S、T两点，PS、PT就是双曲线的切线。证明：采用圆锥曲线的极点与极线知识，类似椭圆方法可以证明，略。图 6命题6：已知抛物线外一点，过P点作一条任意抛物线割线交于A、B两点，过P点作水平线与抛物线交于C，连接AC连线，过B点作水平线与AC交于Q点。在x轴上确定一点，连线QR就是P点的极线，QR与抛物线交于S、T两点，PS、PT就是抛物线的切线。证明：抛物线方程为，则点对应的极线方程为：，则点满足P的极线方程，R点在P的极线上。依据射影几何理论，抛物线封闭于无穷远点处，本命题中抛物线内接四边形ABCD中的D点在无穷远处，四边形ABCD的对角线BD退化为一条水平线而已。过B点作水平线与AC交于Q点，Q点也在P的极线上。QR与抛物线交于S、T两点，PS、PT就是抛物线的切线，命题成立。试问：过A点作水平线与BC交于H点，H点也在P的极线上吗？是的在的。图 7参考文献：[1] 徐文平.圆锥曲线内接四边形的四极点调和分割定理[J]，数学学习与研究2014.13[2] 李建华.射影几何入门[M]，科学出版社，2011.6[3] 王兴华.漫谈圆锥曲线的极点与极线[J]，中学数学教学，2006.6[4]吉众.椭圆的切线问题研究[J]，数理天地，2008.124